Domini d'una funció
En substituir $x$ per un nombre real en l'expressió analítica d'una funció, el resultat no sempre és un altre nombre real.
Considerem ara la funció $f(x)=\displaystyle \sqrt{x-3}$. Per poder calcular imatges necessitem que el de dins de l'arrel sigui major o igual que zero, ja que l'arrel d'un nombre negatiu no és un nombre real.
Per tant, només tenen imatges per $f$ els nombres reals $x$ majors o iguals que $3$.
El domini d'una funció $f$ és el conjunt de nombres reals que tenen imatge per $f$. Es denota $Dom(f)$ o $D(f)$.
Calculeu el domini de les següents funcions.
$f (x) = 2x - 1$
$f(x)=3x^2$
$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$
Observem que la imatge de qualsevol nombre real $x$ és un altre nombre real. Per tant $Dom (f) = \mathbb{R}$
Com en el cas anterior, la imatge de qualsevol nombre real $x$ és un altre nombre real. Per tant $Dom (f) = \mathbb{R}$
En aquest cas, la imatge de qualsevol nombre real és un altre nombre real exceptuant el zero, per el qual la funció no està definida. Així tenim, $Dom (f) =\mathbb{R} - \{0\}$
Càlcul de dominis
Per calcular el domini d'una funció hem de partir de que pot ser qualsevol nombre de la recta real $(\mathbb{R})$ i anar restringint el conjunt depenent de la funció. Per fer aquestes restriccions hem de localitzar els punts "febles" de les nostres funcions o millor dit, els punts de no definició. A continuació llistem els conjunts de no definició de les principals funcions:
| Funció | Conjunt de no definició |
| $f(x)=log(g(x))$ | $\{ x | g(x) \leq 0\} =$ els valors de $x$ tal que $g(x)$ es fa negativa o zero |
| $f(x)=\sqrt{g(x)}$ | $\{x | g(x) < 0 \} =$ els valors de $x$ tal que $g(x)$ es fa negativa |
| $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ | $\{ x | h(x) = 0 \} =$ els valors de $x$ tal que $h(x)$ val zero |
| $f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}$ | $\{ x | g(x) < 0 \} =$ els valors de $x$ tal que $g(x)$ es fa negativa |
Vegem un exemple:
Si prenem la funció $f(x)=\Big( \dfrac{2x+1}{x-4}-ln(x+8)\Big) \cdot \sqrt{x^2+1}$ i volem trobar el seu domini hem de considerar que és tota la recta real i anar restringint segons trobem punts o intervals de no definició.
En aquest cas, observem que tenim 3 possibles intervals de no definició:
- quan $x-4$ sigui zero $\Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4$ la funció no estarà definida.
- quan $x+8$ sigui negatiu o zero $\Rightarrow x+8\leq 0 \Rightarrow x\leq -8$ la funció no estarà definida
- quan $x^2+1$ sigui negatiu $\Rightarrow x^2+1 < 0 \Rightarrow x^2 < -1$ cosa que no pot passar ja que x quadrat sempre és positiu, per tant la funció no té intervals de no definició.
Llavors, podem concloure que el domini de la nostra funció serà $Dom(f)=(-8,4)\cup(4,\infty)$