Dominio de una función
En sustituir $x$ por un número real en la expresión analítica de una función, el resultado no siempre es otro número real.
Consideremos por ejemplo la función $f(x)=\displaystyle \sqrt{x-3}$. Para poder calcular imágenes necesitamos que lo de dentro de la raíz sea mayor o igual que cero, ya que la raíz de un número negativo no es un número real.
Por tanto, sólo tienen imágenes por $f$ los números reales $x$ mayores o iguales que $3$.
El dominio de una función $f$ es el conjunto de números reales que tienen imagen por $f$. Se denota $Dom(f)$ o $D(f)$.
Calcular el dominio de las siguientes funciones.
$f (x) = 2x - 1$
$f(x)=3x^2$
$f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}$
Observamos que la imagen de cualquier número real $x$ es otro número real. Por tanto $Dom (f) = \mathbb{R}$
Como en el caso anterior, la imagen de cualquier número real $x$ es otro número real. Por tanto $Dom (f) = \mathbb{R}$
En este caso, la imagen de cualquier número real es otro número real exceptuando el cero, para el cuál la función no está definida. Así tenemos, $Dom (f) =\mathbb{R} - \{0\}$
Cálculo de dominios
Para calcular el dominio de una función tenemos que partir de que puede ser cualquier número de la recta real $(\mathbb{R})$ e ir restringiendo el conjunto dependiendo de la función. Para hacer estas restricciones debemos localizar los puntos "débiles" de nuestras funciones o mejor dicho, los puntos de no definición. A continuación listamos los conjuntos de no definición de las principales funciones:
| Función | Conjunto de no definición |
| $f(x)=log(g(x))$ | $\{ x | g(x) \leq 0\} =$ los valores $x$ tal que $g(x)$ es negativa o cero |
| $f(x)=\sqrt{g(x)}$ | $\{x | g(x) < 0 \} =$ los valores de $x$ tal que $g(x)$ es negativa |
| $f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)}$ | $\{ x | h(x) = 0 \} =$ los valores de $x$ tal que $h(x)$ vale cero |
| $f(x)=\sqrt[2n]{g(x)}$ | $\{ x | g(x) < 0 \} =$ los valores de $x$ tal que $g(x)$ es negativa |
Veamos un ejemplo:
Si tomamos la función $f(x)=\Big( \dfrac{2x+1}{x-4}-ln(x+8)\Big) \cdot \sqrt{x^2+1}$ y queremos encontrar su dominio debemos considerar que es toda la recta real y irla restringiendo según encontremos puntos o intervalos de no definición.
En este caso, observamos que tenemos $3$ posibles intervalos de no definición:
- cuando $x-4$ sea cero $\Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4$ la función no está definida.
- cuando $x+8$ sea negativo o cero $\Rightarrow x+8\leq 0 \Rightarrow x\leq -8$ la función no está definida.
- cuando $x^2+1$ sea negativo $\Rightarrow x^2+1<0 \Rightarrow x^2<-1$ cosa que no puede pasar ya que $x$ cuadrado siempre es positivo, por lo tanto la función no tiene intervalos de no definición.
Entonces, podemos concluir que el dominio de nuestra función será $Dom(f)=(-8,4)\cup(4,\infty)$