Càlcul d'imatges i antiimatges

Considerem la funció $f(x)=x^2+1$.

A partir de la seva expressió analítica podem calcular la imatge de qualsevol element $x$ del conjunt de sortida. Per fer-ho només cal substituir el valor de $x$ en l'expressió de la funció.

Per $x = 2$: $$f(2)=2^2+1=4+1=5$$

Per tant, $5$ és la imatge de $2$ per la funció $f$.

Escriurem $f (2) = 5$.

Podem calcular també la antiimatge o les antiimatges de qualsevol element $y$ del conjunt d'arribada. Per fer-ho només cal substituir el valor de $y = f (x)$ en l'expressió de la funció i aïllar $x$.

Per exemple la antiimatge de $y = 10$ és: $$\begin{array}{rcl}10&=&x^2+1 \\ x^2&=&9 \\ x&=& \pm 3\end{array}$$

Per tant, $3$ i $-3$ són antiimatges de $10$ per la funció $f$. Escriurem: $$f^{-1}(10)=\{-3, 3\}$$

Calculeu la imatge de $2$ i la antiimatge de $11$ per la funció de l'exemple anterior, $f(x)=3x^2-1$.

$$f(2)=3\cdot 2^2-1 =11$$

$f^{-1}(11)$: $$\begin{array}{rcl}11 &=& 3x^2-1 \\ 12 &=& 3x^2 \\ x^2&=& 4\\x&=& \pm2=\{-2,2\}\end{array} \Longrightarrow f^{-1}(11)=\{-2,2\}$$