Cálculo de imágenes y antiimágenes

Consideremos la función $f(x)=x^2+1$.

A partir de su expresión analítica podemos calcular la imagen de cualquier elemento $x$ del conjunto de salida. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $x$ en la expresión de la función.

Para $x = 2$: $$f(2)=2^2+1=4+1=5$$

Por tanto, $5$ es la imagen de $2$ por la función $f$.

Escribiremos $f (2) = 5$.

Podemos calcular también la antiimagen o las antiimágenes de cualquier elemento $y$ del conjunto de llegada. Para hacerlo basta con sustituir el valor de $y = f (x)$ en la expresión de la función y aislar $x$.

Por ejemplo, la antiimagen de $y = 10$ es: $$\begin{array}{rcl}10&=&x^2+1 \\ x^2&=&9 \\ x&=& \pm 3\end{array}$$

Por tanto, $3$ y $-3$ son antiimágenes de $10$ por la función $f$. Escribiremos: $$f^{-1}(10)=\{-3, 3\}$$

Calculad la imagen de $2$ y la antiimagen de $11$ por la función del ejemplo anterior $f(x)=3x^2-1$.

$f^{-1}(11)$: $$\begin{array}{rcl}11 &=& 3x^2-1 \\ 12 &=& 3x^2 \\ x^2&=& 4\\x&=& \pm2=\{-2,2\}\end{array} \Longrightarrow f^{-1}(11)=\{-2,2\}$$