Suma i resta de fraccions
Amb igual denominador
La suma de dues fraccions amb igual denominador és una fracció amb el mateix denominador i el numerador de la què és la suma dels numeradors.
Per a restar fraccions es procedeix de la mateixa manera: es manté el denominador i es resten els numeradors.
Així, per exemple, volem sumar les fraccions $\dfrac{1}{5}$ i $\dfrac{3}{5}$. Dibuixem ambdues fraccions com a particions de rectangles. La fracció $\dfrac{1}{5}$ és:
i la fracció $\dfrac{3}{5}$ és:
Volem fer la suma, és a dir, tenir el mateix temps els rectangles pintats de la primera fracció i els de la segona. Això ens dóna exactament $4$ rectangles pintats:
Amb el que tenim que la suma de $\dfrac{1}{5}$ i $\dfrac{3}{5}$ ens dóna $\dfrac{4}{5}$. $$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5}$$
Per a fer una resta, es procedeix de la mateixa manera.
Per a restar la fracció $\dfrac{5}{7}$ a la fracció $\dfrac{9}{7}$, comencem per dibuixar ambdues fraccions com a rectangles. La fracció $\dfrac{9}{7}$ és:
i la fracció $\dfrac{5}{7}$ és:
Així que, si treiem els cinc rectangles platejats de la segona fracció a la primera, ens queda:
(On hem representat en color lila clar les cel·les que estaven pintades de vermell i hem tret les de color blau).
És a dir, que:
$$\dfrac{9}{7}-\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{7}$$
Aquesta senzilla operació es pot formular de la següent manera:
$$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$$
Amb diferent denominador
A continuació, volem realitzar la següent suma: $\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}$.
Els denominadors són dos nombres diferents $12$ i $6$ així que no podem aplicar el que hem vist fins ara. En canvi, hi ha un truc, podem buscar una fracció equivalent a cadascuna de manera que tinguin el mateix denominador.
Una manera de fer-ho és, per exemple, multiplicant el numerador i el denominador de la primera fracció pel denominador de la segona i, multiplicar el numerador i el denominador de la segona pel denominador de la primera.
Així, obtenim dues fraccions equivalents a les que ens han donat però amb el mateix denominador, que serà igual al producte de denominadors i que, per tant, els podem sumar o restar amb les regles que hem donat a l'apartat anterior.
A l'exemple que ens plantejaven al començar voliem sumar $\dfrac{3}{12}$ i $\dfrac{1}{6}$. Per tant, fem: $$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot6}{12\cdot6}=\dfrac{18}{72}$$ i
$$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot12}{6\cdot12}=\dfrac{12}{72}$$
De tal forma que obtenim dues fraccions equivalents a les primeres però amb el mateix denominador. Ara sí que les podem sumar: $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{72}+\dfrac{12}{72}=\dfrac{18+12}{72}=\dfrac{30}{72}$$ Ara hem de simplificar la fracció obtinguda: $$\left.\begin{array}{l} 30=2\cdot3\cdot5 \\ 72=2^3\cdot 3^2 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.d(30,72)=2\cdot3=6$$
Així que: $$\dfrac{30}{72}=\dfrac{30:6}{72:6}=\dfrac{5}{12}$$
És a dir, en total hem obtingut que: $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12}$$
Aquest procediment es pot resumir en la fórmula: $$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{(a\times d)\pm(b\times c)}{b\times d}$$
A l' exemple que teníem, $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{(3\times 6)+(12\times 1)}{12\times 6}=\dfrac{18\times 12}{72}=\dfrac{30}{72}$$
I, a continuació s'hauria de simplificar la fracció tal com ho hem fet abans.
Tot i així, amb aquest mètode obtenim fraccions formades per nombres molt alts ($30$ o $72$) que, a continuació, hem de simplificar.
Hi ha una altra manera de conseguir fer la suma o la resta de manera que el resultat sigui una fracció més senzilla i ens estalviem treball a l'hora de simplificar.
Per això, s'han de transformar les fraccions que es pretenen sumar o restar, de manera que tinguin el mateix denominador, però que aquest sigui el menor possible.
Això s'aconsegueix calculant el mínim comú múltiple $(m.c.m.)$ de tots els denominadors i posant aquest número com a denominador comú.
En el cas que estem treballant, calcularem el $m.c.m.$ de $12$ i de $6$: $$\left.\begin{array}{l} 6=2\cdot3 \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.m(6,12)=2^2\cdot3=12$$ per tant, hem de buscar dues fraccions equivalents a les donades, els denominadors de les quals siguin $12$. En el cas de $\dfrac{3}{12}$, la resposta es obviament ella mateixa, però anem a veure una metodologia per a trobar aquesta fracció.
Un cop hem localitzat quin serà el denominador comú, calculem per cada fracció el valor $m$ pel que multiplicarem amb l'objectiu de trobar la seva fracció equivalent.
Aquest valor el podem trobar mitjançant la següent fórmula:
$$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadors}}{\mbox{denominador de la fracció}}$$
De forma que, per a cada fracció trobarem un valor de $m$ diferent.
En la fracció $\dfrac{1}{6}$, el valor de $m$ és: $$m=\dfrac{mcm(6,12)}{6}=\dfrac{12}{6}=2$$ i per a la fracció $\dfrac{3}{12}$ tenim: $$m=\dfrac{mcm(6,12)}{12}=\dfrac{12}{12}=1$$
De manera que ja només ens falta multiplicar el numerador i el denominador de cada fracció pel valor de $m$ trobat i sumar els numeradors corresponents. A continuació simplificarem la fracció, si es pot.
Per a les fraccions de l'exemple, tenim: $$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\dfrac{2}{12}$$ y $$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot 1}{12\cdot 1}=\dfrac{3}{12}$$ Així que la suma és:
$$\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2+3}{12}=\dfrac{5}{12}$$ I aquest resultat ja està simplificat al màxim.
Resumint, per a sumar o restar dos o més fraccions amb diferents denominadors, hem de:
Simplificar si es pot les fraccions donades.
Calcular el mínim comú múltiple dels denominadors.
Calcular per a cada fracció el valor pel qual l'hem de multiplicar: $$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadors}}{\mbox{denominador de la fracció}}$$
Calcular les fraccions equivalents a cada, multiplicant numerador i denominador pe $m$.
Sumar o restar les fraccions amb mateix denominador.
Simplificar si es pot.