Suma y resta de fracciones

Con igual denominador

La suma de dos fracciones con mismo denominador es una fracción con igual denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Para restar fracciones se procede de igual forma: se mantiene el denominador y se restan los numeradores.

Así, por ejemplo, queremos sumar las fracciones $\dfrac{1}{5}$ y $\dfrac{3}{5}$. Nos dibujamos ambas fracciones como particiones de rectángulos. La fracción $\dfrac{1}{5}$ es:

Y la fracción $\dfrac{3}{5}$ es:

Queremos hacer la suma, es decir, tener al mismo tiempo los rectángulos pintados de la primera fracción y los de la segunda. Esto nos da exactamente $4$ rectángulos pintados:

Con lo que tenemos que la suma de $\dfrac{1}{5}$ y $\dfrac{3}{5}$ nos da $\dfrac{4}{5}$. $$\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{4}{5}$$

Para hacer una resta, se procede del mismo modo.

Para restar la fracción $\dfrac{5}{7}$ a la fracción $\dfrac{9}{7}$, empezamos dibujando ambas fracciones como rectángulos. La fracción $\dfrac{9}{7}$ es:

Y la fracción $\dfrac{5}{7}$ es:

Así que, si quitamos los cinco rectángulos pintados de la segunda fracción a la primera, nos queda:

(Donde hemos representado de color lila claro las celdas que estaban pintadas de rojo y hemos quitada las azules).

Es decir, que:

$$\dfrac{9}{7}-\dfrac{5}{7}=\dfrac{4}{7}$$

Esta sencilla operación se puede formular de la siguiente manera:

$$\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}$$

Con distinto denominador

A continuación, queremos realizar la siguiente suma: $\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}$.

Los denominadores son dos números distintos, $12$ y $6$, así que no puedes aplicar lo que has visto hasta ahora. Sin embargo, hay un truco, podemos buscar una fracción equivalente a cada una, de forma que tengan el mismo denominador.

Una forma de hacerlo es, por ejemplo, multiplicando el numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el numerador y el denominador de la segunda por el denominador de la primera.

Obtendremos así, dos fracciones equivalentes a las dadas, con el mismo denominador igual al producto de denominadores y que, por tanto, se pueden sumar o restar.

En el ejemplo que teníamos, para sumar $\dfrac{3}{12}$ y $\dfrac{1}{6}$ hacemos: $$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot6}{12\cdot6}=\dfrac{18}{72}$$ y

$$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot12}{6\cdot12}=\dfrac{12}{72}$$

De tal forma que obtenemos dos fracciones equivalentes a las primeras pero con el mismo denominador, así que ya las podemos sumar: $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{18}{72}+\dfrac{12}{72}=\dfrac{18+12}{72}=\dfrac{30}{72}$$ Ahora debemos simplificar la fracción obtenida: $$\left.\begin{array}{l} 30=2\cdot3\cdot5 \\ 72=2^3\cdot 3^2 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.d(30,72)=2\cdot3=6$$

Así que $$\dfrac{30}{72}=\dfrac{30:6}{72:6}=\dfrac{5}{12}$$

Es decir, en total hemos obtenido que: $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{12}$$

Este procedimiento se puede resumir en la fórmula: $$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{(a\times d)\pm(b\times c)}{b\times d}$$

En el ejemplo que teníamos, $$\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{(3\times 6)+(12\times 1)}{12\times 6}=\dfrac{18\times 12}{72}=\dfrac{30}{72}$$

Y a continuación hay que simplificar la fracción.

Sin embargo, con este método obtenemos fracciones formadas por números muy altos ($30$ o $72$) que a continuación debemos simplificar.

Existe otra manera de lograr hacer la suma o la resta de manera que el resultado sea una fracción más sencilla, y nos ahorremos trabajo a la hora de simplificar.

Para ello, se han de transformar las fracciones que se pretenden sumar o restar, de manera que tengan el mismo denominador, pero que este sea el menor posible.

Esto se consigue calculando el mínimo común múltiplo ($m.c.m$) de todos los denominadores y colocando este número como denominador común.

En el caso que nos ocupa, calcularemos el $m.c.m.$ de $12$ y de $6$: $$\left.\begin{array}{l} 6=2\cdot3 \\ 12=2^2\cdot 3 \end{array} \right\} \Rightarrow m.c.m(6,12)=2^2\cdot3=12$$ por lo tanto, debemos buscar dos fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean $12$. En el caso de $\dfrac{3}{12}$, la respuesta es obviamente ella misma, pero vamos a ver una metodología para encontrar esta fracción.

Una vez tenemos localizado cual será el denominador común, calculamos por cada fracción el valor $m$ por el que la multiplicaremos con el fin de encontrar su fracción equivalente. Este valor se encuentra según la fórmula:

$$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadores}}{\mbox{denominador de la fracción}}$$

De forma que para cada fracción encontramos un valor de $m$ distinto.

En la fracción $\dfrac{1}{6}$, el valor de $m$ es: $$m=\dfrac{mcm(6,12)}{6}=\dfrac{12}{6}=2$$ mientras que para la fracción $\dfrac{3}{12}$ tenemos: $$m=\dfrac{mcm(6,12)}{12}=\dfrac{12}{12}=1$$ De forma que ya solamente nos falta multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por el valor de $m$ encontrado y sumar los numeradores correspondientes. A continuación simplificaremos la fracción, si se puede.

Para las fracciones del ejemplo, tenemos: $$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1\cdot 2}{6\cdot 2}=\dfrac{2}{12}$$ y $$\dfrac{3}{12}=\dfrac{3\cdot 1}{12\cdot 1}=\dfrac{3}{12}$$ Así que la suma es: $$\dfrac{1}{6}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{3}{12}=\dfrac{2+3}{12}=\dfrac{5}{12}$$ Y este resultado ya esta simplificado al máximo.

Resumiendo, para sumar o restar dos o más fracciones con diferentes denominadores, debemos:

1. Simplificar si se puede las fracciones dadas.

2. Calcular el mínimo común múltiple de los denominadores.

3. Calcular para cada fracción el valor $m$ por el que la debemos multiplicar: $$m=\dfrac{\mbox{mcm entre denominadores}}{\mbox{denominador de la fracción}}$$

4. Calcular las fracciones equivalentes a cada, multiplicando numerador y denominador por $m$.

5. Sumar o restar las fracciones con mismo denominador.

6. Simplificar si se puede.