Fraccions equivalents: simplificació i fracció irreductible

Calcula:

  1. $\dfrac{3}{7}$ de $840$
  2. $\dfrac{-2}{9}$ de $-45$
  1. Primer hem de dividir $840$ entre $7$ i el resultat multiplicar-ho per $3$: $$(840:7)\cdot3=120\cdot3=360$$
  2. $(-45:9)\cdot(-2)=-5\cdot(-2)=10$
  1. $360$
  2. $10$

De les següents fraccions n'hi ha algunes que són equivalents. Indica quines són: $$\dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{-3}{4}, \dfrac{4}{-3}, \dfrac{-3}{-4}, \dfrac{12}{16}, \dfrac{3}{4}.$$

Comencem mirant a quines fraccions és equivalent la fracció $\dfrac{3}{4}$. Per fer-ho, hem de comprovar-ho amb cadascuna de les altres fraccions:

  • $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{4}{5}$ no són equivalents ja que $3\cdot5=15$ i $4\cdot4=16$
  • $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{-3}{4}$ no són equivalents ja que $3\cdot4=12$ i $4\cdot(-3)=-12$
  • $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{4}{-3}$ tampoc no són equivalents ja que $4\cdot4=16$ i $3\cdot(-3)=-9$
  • $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{-3}{-4}$ són equivalents ja que $3\cdot(-4)=4\cdot(-3).$
  • $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{12}{16}$ són equivalents ja que $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot4}{4\cdot4}=\dfrac{12}{16}.$
  • $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{3}{4}$ són equivalents perquè tota fracció és equivalent a ella mateixa (propietat reflexiva).

A partir d'aquí, gracies a la propietat transitiva, tenim que les fraccions $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{-3}{-4}$ i $\dfrac{12}{16}$ són equivalents i que les altres fraccions $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{-3}{4}$ i $\dfrac{4}{-3}$, no són equivalents a les anteriors. Encara hem de veure, però, si són equivalents entre elles: $\dfrac{4}{5}$ no és equivalent a $\dfrac{-3}{4}$ ja que $4\cdot4=16$ i $5\cdot(-3)=-15$, i tampoc ho és amb $\dfrac{4}{-3}$. Només queda provar la última parella $\dfrac{-3}{4}$ i $\dfrac{4}{-3}$, que tampoc són equivalents.

Les fraccions $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{-3}{-4}$ i $\dfrac{12}{16}$ són equivalentes. Les altres tres no ho són.

Troba:

  1. La forma irreductible de $\dfrac{18}{24}$ i $\dfrac{45}{50}.$
  2. Una fracció equivalent a $\dfrac{-2}{7}$ que té per denominador $-98.$
  1. Per a trobar la forma irreductible d'una fracció, hem de calcular primer les factoritzacions en nombres primers del seu numerador i denominador: $18=2\cdot3^2$ i $24=2^3\cdot3.$

I per a l'altra fracció: $45=3^2\cdot5$ i $50=2\cdot 5^2.$

A continuació calculem el màxim comú divisor del numerador i denominador en cada cas: $mcd(18,24)=2\cdot3=6$ i $mcd(45,50)=5.$

I finalment, dividim numerador i denominador pel mcd: $\dfrac{18}{24}=\dfrac{18:6}{24:6}=\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{45}{50}=\dfrac{45:5}{50:5}=\dfrac{9}{10}$.

  1. Per a passar del denominador $7$ a $-98$, és necessari multiplicar el $7$ per $-14$, ja que: $-98=-2\cdot 7^2=7\cdot(-14).$ Per tant, podem construir la fracció equivalent: $\dfrac{-2}{7}=\dfrac{-2\cdot(-14)}{7\cdot(-14)}=\dfrac{28}{-98}$.
  1. $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{9}{10},$ respectivament.
  2. $\dfrac{28}{-98}.$
Tornar al tema