Fracciones equivalentes: simplificación y fracción irreductible

Calcula:

  1. $\dfrac{3}{7}$ de $840$
  2. $\dfrac{-2}{9}$ de $-45$
  1. Primero debemos dividir $840$ entre $7$ y el resultado multiplicarlo por $3$: $$(840:7)\cdot3=120\cdot3=360$$
  2. $(-45:9)\cdot(-2)=-5\cdot(-2)=10$
  1. $360$
  2. $10$

De las siguientes fracciones hay algunas que son equivalentes. Indica cuales son: $$\dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{-3}{4}, \dfrac{4}{-3}, \dfrac{-3}{-4}, \dfrac{12}{16}, \dfrac{3}{4}.$$

Empezamos mirando a qué fracciones es equivalente la fracción $\dfrac{3}{4}$. Para hacerlo debemos comprobarlo con cada una de las otras fracciones:

  • $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{4}{5}$ no son equivalentes pues $3\cdot5=15$ y $4\cdot4=16$
  • $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{-3}{4}$ no son equivalentes pues $3\cdot4=12$ y $4\cdot(-3)=-12$
  • $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{4}{-3}$ tampoco son equivalentes pues $4\cdot4=16$ y $3\cdot(-3)=-9$
  • $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{-3}{-4}$ son equivalentes pues $3\cdot(-4)=4\cdot(-3).$
  • $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{12}{16}$ son equivalentes ya que $\dfrac{3}{4}=\dfrac{3\cdot4}{4\cdot4}=\dfrac{12}{16}.$
  • $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{3}{4}$ son equivalentes porque toda fracción es equivalente a si misma (propiedad reflexiva).

A partir de aquí, gracias a la propiedad transitiva, tenemos que las fracciones $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{-3}{-4}$ y $\dfrac{12}{16}$ son equivalentes. Mientras que las otras tres, $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{-3}{4}$ y $\dfrac{4}{-3}$, sabemos que nos son equivalentes a las anteriores, pero todavía debemos comprobar que no son equivalentes entre ellas: $\dfrac{4}{5}$ no es equivalente a $\dfrac{-3}{4}$ pues $4\cdot4=16$ y $5\cdot(-3)=-15$, como tampoco lo es con $\dfrac{4}{-3}$. Y finalmente, debemos comprobar la pareja $\dfrac{-3}{4}$ y $\dfrac{4}{-3}$, que tampoco son equivalentes.

Encuentra:

  1. La forma irreductible de $\dfrac{18}{24}$ y $\dfrac{45}{50}.$
  2. Una fracción equivalente a $\dfrac{-2}{7}$ cuyo denominador sea $-98.$
  1. Para encontrar la forma irreductible de una fracción, debemos calcular primero las factorizaciones en primos de su numerador y denominador: $18=2\cdot3^2$ y $24=2^3\cdot3.$

Y para la otra fracción: $45=3^2\cdot5$ y $50=2\cdot 5^2.$

A continuación calculamos el máximo común divisor del numerador y denominador en cada caso: $mcd(18,24)=2\cdot3=6$ y $mcd(45,50)=5.$

Finalmente dividimos numerador y denominador por el mcd: $\dfrac{18}{24}=\dfrac{18:6}{24:6}=\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{45}{50}=\dfrac{45:5}{50:5}=\dfrac{9}{10}$.

  1. Para pasar del denominador $7$ a $-98$, es necesario multiplicar el $7$ por $-14$, ya que: $-98=-2\cdot 7^2=7\cdot(-14).$ Por lo tanto, podemos construir la fracción equivalente: $\dfrac{-2}{7}=\dfrac{-2\cdot(-14)}{7\cdot(-14)}=\dfrac{28}{-98}$.
  1. $\dfrac{3}{4}$ y $\dfrac{9}{10},$ respectivamente.
  2. $\dfrac{28}{-98}.$
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