Resolució d'equacions trigonomètriques

Recordem la fórmula que ens transforma la suma en producte: $$\sin(A)+\sin(B)=2\cdot\sin\Big(\dfrac{A+B}{2}\Big)\cdot\cos\Big( \dfrac{A-B}{2}\Big)$$

Aplicant-ho en el nostre cas: $$\sin(2x+\dfrac{\pi}{3})+\sin(x+\dfrac{\pi}{6})=2\cdot\sin\Big(\dfrac{2x+\dfrac{\pi}{3}+x+\dfrac{\pi}{6}}{2}\Big)\cdot\cos\Big(\dfrac{2x+\dfrac{\pi}{3}-x-\dfrac{\pi}{6}}{2}\Big)=$$ $$=2\cdot\sin\Big(\dfrac{3x+\dfrac{\pi}{2}}{2}\Big)\cdot\cos\Big(\dfrac{x+\dfrac{\pi}{6}}{2}\Big)=2\cdot\sin\Big(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Big)\cdot\cos\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{12}\Big)=0$$

Tenim que el producte de dos factors és zero, necessàriament un dels dos és zero. Per tant, distingim:

cas (a): $$\sin\Big(\dfrac{3x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\Big)=0 \Rightarrow \dfrac{3x}{2}+\dfrac{\pi}{4}= \left\{\begin{array}{c} 2\pi\cdot k \\ \pi+2\pi\cdot k \end{array}\right. k \in \mathbb{Z}=k\pi, \ k\in\mathbb{Z} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \dfrac{3x}{2}=k\pi-\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2}{3}\pi\cdot k$$

i cas (b): $$\cos\Big(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{12}\Big)=0 \Rightarrow \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{12}= \left\{\begin{array}{c} \dfrac{\pi}{2}+2k\cdot\pi \\ -\dfrac{\pi}{2}+2k\cdot\pi \end{array}\right. k \in \mathbb{Z}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \ k\in\mathbb{Z} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi}{2}+k\cdot\pi-\dfrac{\pi}{12} \Rightarrow x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\cdot\pi$$