Resolució d'equacions trigonomètriques

Per resoldre una equació trigonomètrica seguirem els següents passos:

  1. Desenvolupem les expressions, fins a obtenir una sola expressió trigonomètrica igualada a un nombre.

  2. Obtindrem una igualtat de les següents: $$\begin{array}{rcl}\sin u &=& a \\ \cos u &=& b \\ \tan u &=& c \end{array}$$ on $u$ és una funció de $x$.

  3. Resolem cada un dels casos prenent l'arc de les funcions corresponents en els dos membres:

$$\sin u=a \Rightarrow \arcsin (\sin u)=\arcsin a \Rightarrow $$

$$u=\left\{\begin{array}{l} \arcsin a+ 2k\cdot \pi \\ (\pi-\arcsin a)+2k\cdot \pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z} $$

$$\cos u=b \Rightarrow \arccos (\cos u)=\arccos b \Rightarrow$$

$$u=\left\{\begin{array}{l} \arccos b+ 2k\cdot \pi \\ (2\pi-\arccos b)+2k\cdot \pi \end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$$

$$\tan u = c \Rightarrow \arctan (\tan u)=\arctan c \Rightarrow u=\arctan c+ \pi \cdot k$$

  1. Un cop trobada $u$, aïllem la $x$.

Anem a resoldre la següent equació trigonomètrica: $$\sin ^2x- \cos ^2x=\displaystyle \frac{1}{2}$$

Primer de tot aïllem de l'equació el $\sin^2x$: $$\sin ^2x=\displaystyle \frac{1}{2}+\cos ^2 x$$

A partir de la relació $$\sin^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow \cos^2x=1-\sin ^2x$$ Substituint en la nostra equació: $$\displaystyle sin^2x=\frac{1}{2}+\cos^2x=\frac{1}{2}+1-\sin^2x=\frac{3}{2}-sin^2x \Rightarrow 2\sin^2x=\frac{3}{2} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \sin^2x=\frac{3}{4} \Rightarrow \sin x=\pm \sqrt {\frac{3}{4}}=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Ara ja hem aconseguit obtenir una raó trigonomètrica igualada a un nombre.

Apliquem ara la relació 3.i en els dos possibles casos:

Cas (a): $$\sin x=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \left\{\begin{array} {l} \frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \pi-\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k=\frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right. , k \in \mathbb{Z}$$

Cas (b): $$\sin x=\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x= \left\{\begin{array} {l} -\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \pi+\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k=\frac{4\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right. , k \in \mathbb{Z}$$ Així doncs obtenim la següent solució: $$x=\left\{\begin{array}{l} \frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \frac{2\pi}{3}+2\pi\cdot k \\ -\frac{\pi}{3}+2\pi \cdot k \\ \frac{4\pi}{3}+2\pi\cdot k\end{array}\right., k \in \mathbb{Z}$$

Practicar exercicis