Resoldre una equació exponencial per canvi de variable

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

• $a^0=1$ per a qualsevol $a$.
• Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$
• Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a\neq 1$ tenim que: $$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan l'equació és del tipus $f(a^x)=0$ s'utilitza el canvi de variable $t=a^x$ i es resol l'equació de primer o segon ordre que apareix. Sempre que es vulgui aplicar aquest cas s'ha d'assegurar que $a \neq 0$ i $a\neq 1$.

$$2-3^{-x}+3^{x+1}=0$$ és d'aquest tipus ja que $f(3^x)=2-3^{-x}+3^{x+1}=0$

Utilitzem tal com hem dit el canvi de variable $t=3^x$.

Llavors: $$2-(3^x)^{-1}+3\cdot 3^x= 2-t^{-1}+3 \cdot t=0$$

Atès que estem segurs que $t$ no és zero (perquè no hi ha cap $x$ tal que $3^x$ sigui zero) no hi ha problema en que hi hagi una $t$ en el denominador. Multiplicant tota expressió per $t$ obtenim: $$2-t^{-1}+3 \cdot t=0 \Rightarrow 2 \cdot t - t \cdot t^{-1}+3 \cdot t \cdot t=2t-1+3t^2=0$$ que és una equació de segon grau en la variable $t$.

La resolem: $$\displaystyle t=\frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}=-2 \pm \frac{\sqrt{4+12}}{6}=\frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6}=$$ $$\displaystyle =\frac{-2\pm 4}{6}=\left\{\begin {array}{l}t = \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\ t = \frac{-6}{6}=-1\end{array}\right.$$

Com és de segon grau, obtenim dues solucions, desfent el canvi per a cada una tenim: $$\displaystyle \left.\begin{array}{rcl} t=\frac{1}{3} & \Rightarrow & 3^x =\frac{1}{3} \\ t=-1 & \Rightarrow & 3^x=-1\end{array}\right\}$$ però $3^x$ no pot ser mai negatiu de manera que no hi ha solució per $t=-1$. Ara només tenim una solució que és: $$\displaystyle 3^x=\frac{1}{3} \Rightarrow x=\log_3\Big(\frac{1}{3}\Big)=\log_3 1-\log_3 3=0-1=-1$$

$$5^{2x}-2\cdot 5^x-15=0$$ Utilitzem el canvi de variable $5^x=t$: $$t^2-2t-15=0$$ Es resol l'equació de segon grau i obtenim: $$t=5 \mbox{ i } t=-3$$ per tant $x=\log_5 5 $ i l'altra solució no es considera donat que $x=\log_5 (-3)$ no té sentit.

Imaginem que volem construir nosaltres una equació que es resolgui d'aquesta manera. Una manera de procedir és, prendre una equació de segon grau $3t^2-t-4=0$ que té solucions $\displaystyle t=\frac{4}{3}$, $t=-1$ i escollim una base per considerar el canvi $t=7^x$, per exemple. Així substituint en l'equació es té: $$3\cdot (7^x)^2-(7^x)-4=0 \Rightarrow 3 \cdot 7^{2x}-7^x-4=0$$