Resoldre una equació exponencial aplicant propietats de les potències

Una equació exponencial és aquella en què la o les incògnites estan en l'exponent d'una potència. Les equacions exponencials utilitzen coneixements bàsics de les funcions exponencial i logarítmica.

Per resoldre-les s'utilitzen les següents propietats:

• $a^0=1$ per a qualsevol $a$.
• Dues potències amb una mateixa base positiva i diferent de la unitat són iguals si i només si són iguals els seus exponents. És a dir: $$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$
• Per a qualsevol $a \neq 0$ i $a\neq 1$ tenim que: $$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Quan es vol resoldre una equació exponencial aquesta pot tenir diferents formes, per això s'utilitzen diferents mètodes i transformacions.

Quan tenim una equació del tipus $a^{f(x)}=1$ amb $a\neq 0$ i $a\neq 1$. Llavors es procedeix amb les propietats de les potències que ens diuen que $f(x)=0$ atès que l'únic exponent que per a qualsevol base dóna $1$ és el zero.

$$10^{x^2+-2}=1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=1$$ i $$x=-2$$ on hem utilitzat que l'únic exponent que fa que una potència doni $1$ és el zero, per a qualsevol base.

Per a construir una d'aquest tipus, és suficient elevar una base qualsevol a una equació i igualar-la a $1$. Per exemple, escollint base $8$ i equació $$3x^2-9$$ obtenim: $$8^{3x^2-9}=1$$ que és resoldrà $$3x^2-9=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{\pm\sqrt{-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\frac{\pm6\sqrt{3}}{6}=\pm \sqrt{3}$$