Resolver una ecuación exponencial aplicando propiedades de las potencias

Una ecuación exponencial es aquella en la que la o las incógnitas están en el exponente de una potencia. Las ecuaciones exponenciales utilizan conocimientos básicos de las funciones exponencial y logarítmica. Por lo que se les dará un repaso.

Para resolverlas se utilizan las siguientes propiedades:

• $a^0=1$ para cualquier $a$.
• Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes. Es decir: $$2^a=2^b \Leftrightarrow a=b$$
• Para cualquier $a \neq 0$ y $a\neq 1$ se tiene que:$$a^x=b \Rightarrow x= \log_ab$$

Cuando se quiere resolver una ecuación exponencial ésta puede tener distinta forma, por ello existen distintos métodos y transformaciones.

Cuando tenemos una ecuación del tipo $a^{f(x)}=1$ con $a\neq 0$ y $a\neq 1$. Entonces se procede con las propiedades de las potencias que nos dicen que $f(x)=0$ dado que el único exponente que para cualquier base da uno es el cero.

$$10^{x^2+-2}=1 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=1$$ y $$x=-2$$ donde hemos utilizado que el único exponente que hace que una potencia dé $1$ es el cero, para cualquier base.

Para construir una de este tipo, nos vale en elevar una base cualquiera a una ecuación e igualarla a $1$. Por ejemplo, escogiendo base $8$ y ecuación $$3x^2-9$$ obtenemos: $$8^{3x^2-9}=1$$ que se resolverá con $$3x^2-9=0 \Rightarrow \displaystyle x=\frac{\pm\sqrt{-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\frac{\pm6\sqrt{3}}{6}=\pm \sqrt{3}$$