Equacions diferencials ordinàries exactes

Comprovem que es tracta d'una EDO exacta. Anomenant $$P(x,y)=3y+e^x$$ $$Q(x,y)=3x+\cos(y)$$ hem de comprovar que $P_y=Q_x$. En efecte: $$P_y=3 \ \ \ Q_x=3$$ Sabem que $$U_x=P=3y+e^x \Rightarrow U(x,y)=\int (3y+e^x) dx+h(y)=3y\cdot x+e^x+h(y)$$ Per tant, només ens cal calcular la funció $h(y)$. Imposem que la $U$ obtinguda compleixi $U_y=Q$: $$\left . \begin {array} {l} U_y=3x+h'(y) \\ U_y=Q=3x+\cos(y) \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=\cos(y) \Rightarrow h(y)=\sin(y)$$ Per tant la solució de l' EDO exacta és: $$U(x,y)=3x\cdot y+e^x+\sin(y)=C, \ C\in\mathbb{R}$$