Equacions diferencials ordinàries exactes

Direm que l'EDO $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ on $P, Q$ són funcions de $x$ i $y$, és exacta si $P_y=Q_x$, on $P_y$ indica la derivada parcial de $P$ respecte de $y$ i $Q_x$, la derivada parcial de $Q$ respecte de $x$.

Un exemple d'EDO exacta seria:$$(x^3+y^3) dx+3xy^2dy=0$$ En efecte, anomenant $P(x,y)=(x^3+y^3), Q(x,y)=3xy^2$ tenim que $P_y=3y^2=Q_x$.

Cal observar que no totes les EDO's són exactes, per exemple

$$-y^2\cdot dx +(x^2+xy) \cdot dy=0$$ no és exacta, ja que anomenant $P(x,y)=-y^2, Q(x,y)=x^2+xy$, es té $$P_y=-2y\neq Q_x=2x+y$$.

Resoldre aquest tipus d'equacions consisteix a trobar una funció $U(x,y)$ tal que $U_x=P$ i $U_y=Q$ i la solució ve donada per $U(x,y)=C$, on $C$ és una constant.

Per resoldre aquest tipus d'equacions procedirem de la següent manera.

Tenim:$U_x(x,y)=P(x,y)$. Integrem a banda i banda de la igualtat respecte de $x$: $$\displaystyle \int U_x(x,y) \ dx=\int P(x,y) \ dx \Rightarrow U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)$$

Per tant tenim determinada la funció, excepte que ens cal conèixer $h$, que és una funció que només depèn de $y$. Per trobar-la, derivem l'expressió anterior respecte de $y$: $$\displaystyle U_y(x,y)= \frac{d}{dy} \int P(x,y) dx + h'(y)$$ A més, sabem que $U_y=Q$. Per tant igualant els termes obtenim una equació diferencial (que no depèn de $x$, ja que l'EDO és exacta) per trobar $h(y)$.

Un cop trobada $h(y)$ , l'afegim a l'expressió trobada de $U(x,y)$ que, igualada a una constant, és la solució de la nostra EDO.

Resolem l'EDO $$(x^3+y^3)dx+3xy^2dy=0$$ que sabem que és exacta.

Sabem que busquem una funció $U(x,y)$ de manera que $U_x(x,y)=P(x,y)$. Com ja hem comentat tenim: $$U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)=\int (x^3+y^3)dx+h(y)=\frac{x^4}{4}+y^3x+h(y)$$ on $h(y)$ és una funció a determinar que només depèn de $y$. Per trobar aquesta funció, imposem que $U$ sigui solució, és a dir $U_y(x,y)=Q(x,y)$.

Derivant respecte de $y$ obtenim una solució si la igualem a una constant: $$\left . \begin {array} {r} U_y=3y^2x+h'(y) \\ U_y=Q(x,y)=3xy^2 \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=0 \Rightarrow h(y)=C$$ on $C$ és una constant que no és tan important, ja que també tindrem una constant en la solució final.

Així doncs, la solució de l'EDO serà: $$\displaystyle U(x,y)=\frac{x^4}{4}+xy^3=C$$