Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas

Diremos que la EDO$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ donde $P, Q$ son funciones de $x$ y $y$, es exacta si $P_y=Q_x$, donde $P_y$ indica la derivada parcial de $P$ con respecto de $y$ y $Q_x$, la derivada parcial de $Q$ respecto de $x$.

Una EDO exacta sería:$$(x^3+y^3) dx+3xy^2dy=0$$ En efecto, llamando $P(x,y)=(x^3+y^3), Q(x,y)=3xy^2$ se tiene que $P_y=3y^2=Q_x$.

Cabe observar que no todas la EDO's son exactas, por ejemplo

$$-y^2\cdot dx +(x^2+xy) \cdot dy=0$$ no es exacta, puesto que llamando $P(x,y)=-y^2, Q(x,y)=x^2+xy$, se tiene $$P_y=-2y\neq Q_x=2x+y$$.

Resolver este tipo de ecuaciones consiste en encontrar una función $U(x,y)$ tal que $U_x=P$ y $U_y=Q$ y la solución viene dada por $U(x,y)=C$, donde $C$ es una constante.

Para resolver este tipo de ecuaciones procederemos de la siguiente forma.

Tenemos:$U_x(x,y)=P(x,y)$. Integramos a ambos lados de la igualdad con respecto a $x$: $$\displaystyle \int U_x(x,y) \ dx=\int P(x,y) \ dx \Rightarrow U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)$$

Por lo tanto tenemos determinada la función excepto que nos falta conocer $h$, que es una función que sólo depende de $y$. Para encontrarla, derivamos la expresión anterior con respecto a $y$: $$\displaystyle U_y(x,y)= \frac{d}{dy} \int P(x,y) dx + h'(y)$$ Además, sabemos que $U_y=Q$. Por lo tanto igualando los términos obtenemos una ecuación diferencial (que no depende de $x$, puesto que la EDO es exacta) para encontrar $h(y)$.

Una vez encontrada $h(y)$ , la añadimos a la expresión encontrada de $U(x,y)$ que, igualada a una constante, es la solución de nuestra EDO.

Resolvamos la EDO $$(x^3+y^3)dx+3xy^2dy=0$$ que sabemos que es exacta.

Sabemos que buscamos una función $U(x,y)$ de forma que $U_x(x,y)=P(x,y)$. Como ya hemos comentado tenemos: $$U(x,y)=\int P(x,y) \ dx +h(y)=\int (x^3+y^3)dx+h(y)=\frac{x^4}{4}+y^3x+h(y)$$ donde $h(y)$ es una función a determinar que sólo depende de $y$. Para encontrar esta función, impongamos que $U$ sea solución, es decir $U_y(x,y)=Q(x,y)$.

Derivando con respecto a $y$ obtenemos una solución si la igualamos a una constante: $$\left . \begin {array} {r} U_y=3y^2x+h'(y) \\ U_y=Q(x,y)=3xy^2 \end{array}\right\} \Rightarrow h'(y)=0 \Rightarrow h(y)=C$$ donde $C$ es una constante que no es muy importante ya que igualmente tendrenos una constante a la solución final.

Así pues, la solución de la EDO será: $$\displaystyle U(x,y)=\frac{x^4}{4}+xy^3=C$$