Definició de nombres irracionals

1. Suposem que $\sqrt{7}=\dfrac{p}{q}$ on $p$ i $q$ són enters sense factors en comú. Multipliquem per $q$ i elevem l'expressió al quadrat, obtenint: $$7q^2=p^2$$

Si fem la factorització en nombres primers veiem que a l'esquerra hi ha un nombre senar de sets ia la dreta un nombre parell. I per tant no pot existir una expressió racional $\sqrt{7}.$

2. Si $3\pi$ fos racional tindríem $3\pi=\dfrac{p}{q}$, amb $p$ i $q$ enters. Llavors tindríem $\pi=\dfrac{p}{3q}$ i $\pi$ seria racional, cosa que no és certa.

Per tant $3\pi$ no és racional.