Definición de números irracionales

1. Supongamos que $\sqrt{7}=\dfrac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros sin factores en común. Multiplicamos por $q$ y elevamos la expresión al cuadrado, obteniendo; $$7q^2=p^2$$

Si hacemos la factorización en números primos vemos que a la izquierda hay un número impar de sietes y a la derecha un número par. Y por tanto no puede existir una expresión racional de $\sqrt{7}.$

2. Si $3\pi$ fuera racional tendríamos $3\pi=\dfrac{p}{q}$, con $p$ y $q$ enteros. Entonces tendríamos $\pi=\dfrac{p}{3q}$ y $\pi$ sería racional, cosa que no es cierta.

Por tanto $3\pi$ no es racional.