La mitjana, la variància i la desviació típica

La mitjana

Es pot interpretar la mitjana com el centre de gravetat de la funció probabilitat. La mitjana tendirà a trobar-se més a prop dels resultats més probables de l'experiment aleatori.

L'expressió general de la mitjana serà: $$\mu = x_1 \cdot p_1 +x_2 \cdot p_2+x_3 \cdot p_3+ \ldots + x_n \cdot p_n=\sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i$$

La mitjana del resultat d'un dau és: $x_i = i$ és a dir, $$x_1=1, x_2 = 2, \ldots , x_6=6$$ i $\displaystyle p=\frac{1}{6}$, i per tant: $$\displaystyle \mu=\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot 4+\frac{1}{6} \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 6=\frac{1}{6} \cdot 21=3.5$$

La variància

La variància dóna una idea de la variació dels resultats respecte al valor mitjà. L'expressió general de la variància és: $$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i-\mu^2$$

Calcular la variància de la variable del resultat de tirar un dau.

Es calcula primer la mitjana del resultat del dau: $$\displaystyle \mu=\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot 4+\frac{1}{6} \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 6=\frac{1}{6} \cdot 21=3.5$$

I després, amb $x_i=i$ $$x_1=1, x_2 = 2, \ldots , x_6=6$$ i $\displaystyle p=\frac{1}{6}$. Es calcula $$\sigma^2= \frac{1}{6} \cdot 1^2+\frac{1}{6} \cdot 2^2+\frac{1}{6} \cdot 3^2\frac{1}{6} \cdot 4^2+\frac{1}{6} \cdot 5^2+\frac{1}{6} \cdot 6^2-3.5^2=$$ $$=\frac{1}{6} \cdot 91 -12.25=2.91$$

La desviació típica

La desviació típica o estàndard és l'arrel quadrada de la variància, i té la següent expressió: $$\sigma= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i-\mu^2}$$

En l'exemple anterior, $\sigma = \sqrt{2.91}=1.7$