La media, la varianza y la desviación típica

La media

Se puede interpretar la media como el centro de gravedad de la función probabilidad. La media tenderá a encontrarse más cerca de los resultados más probables del experimento aleatorio.

La expresión general de la media será: $$\mu = x_1 \cdot p_1 +x_2 \cdot p_2+x_3 \cdot p_3+ \ldots + x_n \cdot p_n=\sum_{i=1}^n x_i \cdot p_i$$

La media del resultado de un dado es $x_i = i$ es decir, $$x_1=1, x_2 = 2, \ldots , x_6=6$$ y $\displaystyle p=\frac{1}{6}$, con lo que: $$\displaystyle \mu=\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot 4+\frac{1}{6} \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 6=\frac{1}{6} \cdot 21=3.5$$

La varianza

La varianza da una idea de la variación de los resultados respecto al valor medio. La expresión general de la varianza es: $$\sigma^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i-\mu^2$$

Calcular la varianza de la variable del resultado de tirar un dado.

Se calcula primero la media del resultado del dado: $$\displaystyle \mu=\frac{1}{6} \cdot 1+\frac{1}{6} \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 3\frac{1}{6} \cdot 4+\frac{1}{6} \cdot 5+\frac{1}{6} \cdot 6=\frac{1}{6} \cdot 21=3.5$$

Y luego, con $x_i=i$ $$x_1=1, x_2 = 2, \ldots , x_6=6$$ y $\displaystyle p=\frac{1}{6}$. Se calcula $$\sigma^2= \frac{1}{6} \cdot 1^2+\frac{1}{6} \cdot 2^2+\frac{1}{6} \cdot 3^2\frac{1}{6} \cdot 4^2+\frac{1}{6} \cdot 5^2+\frac{1}{6} \cdot 6^2-3.5^2=$$ $$=\frac{1}{6} \cdot 91 -12.25=2.91$$

La desviación típica

La desviación típica o estándar es la raíz cuadrada de la varianza, y tiene la siguiente expresión: $$\sigma= \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot p_i-\mu^2}$$

En el ejemplo anterior, $\sigma = \sqrt{2.91}=1.7$