La distribució normal o Gaussiana

Un fabricant de bateries per a telèfons mòbils diu en les especificacions que la durada mitjana fins que es fan malbé és de $25.000$ hores de funcionament. Molts clients han acudit a les associacions de consumidors per queixar-se, i s'ha fet un estudi que diu que la durada de les bateries segueix una normal de mitjana $20.000$.

  • Tenint en compte que les duracions fora de l'interval $[20000-3\sigma, 20000+3\sigma]$ no es donen mai, definir un valor raonable de sigma.

  • Quina és la probabilitat que una bateria duri les $25.000$ que diu el fabricant o més? I que duri menys?

  • Quina és la probabilitat que duri entre $10.000$ i $15.000$ hores?

  • Es pot suposar que $\sigma=6.000$, de manera que les bateries mai durin menys de $2.000$ hores, ni més de $38.000$.

  • Serà necessari transformar la variable $X$ ($N(20.000, 6.000)$) a la variable $Z$ de normal ($N(0,1)$) per poder utilitzar les taules. $$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \Rightarrow X=\sigma\cdot Z+\mu$$ $$P(X\geq25.000 \mbox{ hores } )=P(\sigma\cdot Z+\mu \geq 25.000)=P(Z\geq 0,833)$$ Anant a les taules es pot veure que: $$p(X < 25.000)=0,7967$$ $$p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$$

  • S'observa que: $$p(10.000 \leq X \leq 15.000)=p(X\leq15.000)-p(X\leq10.000)=$$ $$=p(Z\leq\dfrac{15.000-20.000}{6.000})-p(Z\leq\dfrac{10.000-20.000}{6.000})=$$ $$=p(Z\leq-0,83)-p(Z\leq-1,67)$$ Per simetria, es pot afirmar: $$p(10.000\leq X \leq 15.000)=p(Z\leq1,67)-p(Z\leq0,83)=$$ $$=0,9525-0,7967=0,1558$$

  • $\sigma=6.000$
  • $p(X < 25.000)=0,7967$; $p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$
  • $p(10.000\leq X \leq 15.000)=0,1558$
Tornar al tema