La distribución normal o Gaussiana
Un fabricante de baterías para teléfonos móviles dice que las especificaciones que la duración media hasta que se estropean es de $25.000$ horas de funcionamiento. Muchos clientes han acudido a las asociaciones de consumidores para quejarse, y se ha hecho un estudio que dice que la duración de las baterías sigue una normal de media $20.000$.
Teniendo en cuenta que las duraciones fuera del intervalo $[20000-3\sigma, 20000+3\sigma]$ no se dan nunca, definir un valor razonable de sigma.
¿Cuál es la probabilidad de que una batería dure las $25.000$ que dice el fabricante o más? ¿Y de que dure menos?
¿Cuál es la probabilidad de que dure entre $10.000$ y $15.000$ horas?
Se puede suponer que $\sigma=6.000$, de forma que las baterías nunca duren menos de $2.000$ horas, ni más de $38.000$.
Será necesario transformar la variable $X$ ($N(20.000, 6.000)$) a la variable $Z$ de normal ($N(0,1)$) para poder utilizar las tablas. $$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} \Rightarrow X=\sigma\cdot Z+\mu$$ $$P(X\geq25.000 \mbox{ horas } )=P(\sigma\cdot Z+\mu \geq 25.000)=P(Z\geq 0,833)$$ Acudiendo a las tablas se puede ver que: $$p(X < 25.000)=0,7967$$ $$p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$$
Se observa que: $$p(10.000 \leq X \leq 15.000)=p(X\leq15.000)-p(X\leq10.000)=$$ $$=p(Z\leq\dfrac{15.000-20.000}{6.000})-p(Z\leq\dfrac{10.000-20.000}{6.000})=$$ $$=p(Z\leq-0,83)-p(Z\leq-1,67)$$ Por simetría, se puede afirmar: $$p(10.000\leq X \leq 15.000)=p(Z\leq1,67)-p(Z\leq0,83)=$$ $$=0,9525-0,7967=0,1558$$
- $\sigma=6.000$
- $p(X < 25.000)=0,7967$; $p(X\geq25.000)=1-0,7967=0,2033$
- $p(10.000\leq X \leq 15.000)=0,1558$