Recta tangent a una corba en un punt

a) Es defineix $f(x)=x^2+3$, i el punt $(x_0,y_0)=(-2,-3)$.

b) En primer lloc s'expressa l'equació d'una recta que passi pel punt $(x_0,y_0):$ $$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$$ $$y+3=m\cdot (x+2)$$

Es deriva $f(x)$ i s'expressa el punt de tangència en funció d'un paràmetre $a$: $$f'(x)=2x$$ $$\mbox{punt de tangència}\equiv(a,a^2+3)$$

El pendent de la recta tangent vindrà donat per $m=2\cdot a$, i aquesta recta passarà pel punt de tangència $(a,a^2+3)$. Substituint en l'equació de la recta tangent: $$a^2+3+3=2a\cdot (a+2) \Rightarrow a^2+4a-6=0 \Rightarrow a=-2\pm\sqrt{10}$$

S'observa que, en trobar el pendent $(m=2\cdot a)$, s'obtenen dos valors $$m_1=-4+2\sqrt{10}$$ $$m_2=-4-2\sqrt{10}$$

Això vol dir que hi haurà dues rectes tangents a $f(x)$ i que passin per $(x_0,y_0):$

$$\begin{eqnarray} & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10} \\\\ & & \Rightarrow & \\\\ & y_2=(-4-2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10} \end{eqnarray}$$