Recta tangente a una curva en un punto
a) Defina una parábola $f(x)$ con todos sus puntos en el primer y segundo cuadrante ($\forall {x} \in \mathbb{R} , f(x)\geq 0$) y un punto $(x_0,y_0)$ situado en el tercer o cuarto cuadrante ($y_0<0$).
b) Encuentre la o las rectas tangentes a $f(x)$ que pasan por el punto definido. ¿Cuantas hay?
a) Se define $f(x)=x^2+3$, y el punto $(x_0,y_0)=(-2,-3)$.
b) En primer lugar se expresa la ecuación de una recta que pase por el punto $(x_0,y_0):$ $$y-y_0=m\cdot(x-x_0)$$ $$y+3=m\cdot (x+2)$$
Se deriva $f(x)$ y se expresa el punto de tangencia en función de un parámetro $a$: $$f'(x)=2x$$ $$\mbox{punto de tangencia}\equiv(a,a^2+3)$$
El pendiente de la recta tangente vendrá dado por $m=2\cdot a$, y dicha recta pasará por el punto de tangencia $(a,a^2+3)$. Sustituyendo en la ecuación de la recta tangente: $$a^2+3+3=2a\cdot (a+2) \Rightarrow a^2+4a-6=0 \Rightarrow a=-2\pm\sqrt{10}$$
Se observa que, al encontrar el pendiente $(m=2\cdot a)$, se obtienen dos valores: $$m_1=-4+2\sqrt{10}$$ $$m_2=-4-2\sqrt{10}$$
Esto significa que habrá dos rectas tangentes a $f(x)$ y que pasen por $(x_0,y_0):$
$$\begin{eqnarray} & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10} \\\\ & & \Rightarrow & \\\\ & y_2=(-4-2\sqrt{10})\cdot(x+2)-3 & & y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10} \end{eqnarray}$$
a) $f(x)=x^2+3$, $(x_0,y_0)=(-2,-3)$.
b)
$y_1=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11+4\sqrt{10}$
$$y_2=(-4+2\sqrt{10})\cdot x-11-4\sqrt{10}$$