Màxims, mínims i punts d'inflexió d'una funció

Es farà tot el càlcul sense veure el gràfic de la funció sinus. Al final si utilitzarem el gràfic per comprovar el resultat.

Màxims / Mínims

En primer lloc es calcula la primera derivada i s'iguala a zero: $$y'=cos(x)=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{2},\pm\dfrac{3\pi}{2},\pm\dfrac{5\pi}{2},\pm\dfrac{7\pi}{2},\ldots$$

Es mira, per a cada valor, el signe de la segona derivada i es van trobant els màxims, mínims i punts d'inflexió, $y''=-sin(x)$. $$x=\dfrac{\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$ $$x=\dfrac{3\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{3\pi}{2})=1 > 0 \Rightarrow Min$$ $$x=\dfrac{5\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{5\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$ $$\ldots$$

Els valors de la funció en els màxim és $1$ i en els mínims $-1$.

Punts d'inflexió

S'iguala la segona derivada a zero: $$y''=-sin(x)=0 \Rightarrow x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\ldots$$ $$y(x)=sin(x)=0$$

Vegeu ara el gràfic