Máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función

Se hará todo el cálculo sin ver el gráfico de la función seno. Al final sí utilizaremos el gráfico para comprobar el resultado.

Máximos/Mínimos

En primer lugar se calcula la primera derivada y se iguala a cero: $$y'=cos(x)=0 \Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{2},\pm\dfrac{3\pi}{2},\pm\dfrac{5\pi}{2},\pm\dfrac{7\pi}{2},\ldots$$

Se mira, para cada valor, el signo de la segunda derivada y se van encontrando los máximos, mínimos y puntos de inflexión, $y''=-sin(x)$. $$x=\dfrac{\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$ $$x=\dfrac{3\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{3\pi}{2})=1 > 0 \Rightarrow Min$$ $$x=\dfrac{5\pi}{2} \rightarrow y''(\dfrac{5\pi}{2})=-1 < 0 \Rightarrow Max$$ $$\ldots$$

Los valores de la función en los máximo es $1$ y en los mínimos $-1$.

Puntos de inflexión

Se iguala la segunda derivada a cero: $$y''=-sin(x)=0 \Rightarrow x=0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\ldots$$ $$y(x)=sin(x)=0$$

Véase ahora el gráfico