Interpretació física de la derivada
El món de la física ens dóna una bona eina per a la comprensió de les derivades.
Taxa de Variació Mitjana = Velocitat Mitjana
Un conductor recorre els $20$ km que separen la seva casa de la seva oficina a $10$ minuts. Quina és la velocitat mitjana?
Igual que la $TVM$, la velocitat mitjana es defineix com l' increment de distància $\Delta d$ (és a dir, la distància recorreguda) dividit per l' increment de temps $\Delta t$ emprat en recórrer-la.$$\displaystyle v_m=\frac{\Delta d}{\Delta t}=\frac{20 \mbox{ km }}{10 \mbox{ min }}=120 \mbox{ km/h }$$
Derivada en un punt = Velocitat instantània
El conductor no va estrictament a $120$ km/h durant tot el trajecte, sinó que la seva velocitat anirà variant (no surt del pàrquing de casa seva a $120$ km/h !).
La velocitat instantània és la velocitat en un instant precís. Dit d'una altra manera, fem que l' interval de temps transcorregut sigui pràcticament zero i mirem quina seria la distància recorreguda. $$\displaystyle v(t)=\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta d}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(a+\Delta t)-f(a)}{\Delta t}$$ La funció velocitat és la funció derivada de la funció posició (o espai).
La distància que recorre una persona en funció del temps transcorregut és: $$d(t)=t^2-t+2$$
- Calculeu la velocitat mitjana en els primers $5$ segons de moviment.
L'enunciat ens dóna $\Delta t= 5s$. Calculem la distància recorreguda:$$\Delta d= d(t=5)-d(t=0)=22-2 \mbox{ metres }$$ Per tant, $$\displaystyle v_m=\frac{20 \mbox{ m}}{5\mbox{ s}}= 4\mbox{ m/s}$$
- Calculeu ara la velocitat instantània després de $t=2s$ de recorregut.
La velocitat instantània als dos segons de recorregut és la derivada de la distància al punt $t=2$.
Calculem la derivada (podem recórrer a la definició o saber alguna cosa més sobre càlcul de derivades) i obtenim:$$d'(t)=2t-1 \Rightarrow d'(2)=2\cdot 2-1=3 \mbox{ m/s}$$