Interpretación física de la derivada

El mundo de la física nos da una buena herramienta para la comprensión de las derivadas.

Tasa de Variación Media = Velocidad Media

Un conductor recorre los $20$ km que separan su casa de su oficina en $10$ minutos. ¿Cual es la velocidad media?

Igual que la $TVM$, la velocidad media se define como el incremento de distancia $\Delta d$ (o sea, la distancia recorrida) dividido por el incremento de tiempo $\Delta t$ empleado en recorrerla.$$\displaystyle v_m=\frac{\Delta d}{\Delta t}=\frac{20 \mbox{ km }}{10 \mbox{ min }}=120 \mbox{ km/h }$$

Derivada en un punto = Velocidad instantánea

El conductor no va estrictamente a $120$ km/h durante todo el trayecto, sino que su velocidad irá variando (no sale del parking de su casa a $120$ km/h !).

La velocidad instantánea es la velocidad en un instante preciso. Dicho de otra manera, hacemos que el intervalo de tiempo transcurrido sea prácticamente cero y miramos cual seria la distancia recorrida. $$\displaystyle v(t)=\lim_{\Delta t \to 0 }\frac{\Delta d}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(a+\Delta t)-f(a)}{\Delta t}$$ La función velocidad es la función derivada de la función posición (o espacio).

La distancia que recorre una persona en función del tiempo transcurrido es: $$d(t)=t^2-t+2$$

• Calcular la velocidad media en los primeros $5$ segundos de movimiento.

El enunciado nos da $\Delta t= 5s$. Calculamos la distancia recorrida:$$\Delta d= d(t=5)-d(t=0)=22-2 \mbox{ metros }$$ Por lo tanto, $$\displaystyle v_m=\frac{20 \mbox{ m}}{5\mbox{ s}}= 4\mbox{ m/s}$$

• Calcular ahora la velocidad instantánea después de $t=2s$ de recorrido.

La velocidad instantánea a los dos segundos de recorrido es la derivada de la distancia en el punto $t=2$.

Calculamos la derivada (podemos recurrir a la definición o saber algo más sobre cálculo de derivadas) y obtenemos:$$d'(t)=2t-1 \Rightarrow d'(2)=2\cdot 2-1=3 \mbox{ m/s}$$