Derivada de la multiplicació de dues funcions

Mira la taula amb atenció i intenta deduir la regla del producte:

$f (x)$	$f'(x)$
$x^2(3x+1)$	$2x(3x+1)+x^2(3) $
$ 4x(x+3)$	$4(x+3)+4x(1)$
$\sin x \cdot cos x$	$\cos x \cdot \cos x +\sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
$(Ax+B)(Ax+B)$	$A(Ax+B)+(Ax+B)A=2A(Ax+B)$
$g(x)\cdot h(x)$	?

L'has deduït? Compara el teu resultat amb la regla del producte enunciada a continuació.

La derivada del producte de dues funcions és la derivada de la primera multiplicada per la segona més la primera multiplicada per la derivada de la segona.

Matemàticament,$$f(x)=g(x)h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$

Més exemples:

$$f (x) = 5x$$

Volem derivar l'expressió anterior, per el que busco reconèixer les meves funcions $g (x)$ i $h (x)$ que em permetin utilitzar la regla del producte. En aquest cas $g (x) =5$ i $h (x) =x$. Per tant,

$$f '(x) = 0 \cdot x + 5 \cdot 1=5$$

Un exemple del que ja coneixem el resultat: $$f(x) =x^2$$

Puc dir que $g (x) =x$ i $h (x) =x$ i utilizar la regla del producte.

Llavors, $$f '(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$ Evidentment el resultat concorda amb el que ja coneixíem.