Derivada de la multiplicación de dos funciones

Mira la siguiente tabla con atención e intenta deducir la regla del producto:

$f (x)$	$f'(x)$
$x^2(3x+1)$	$2x(3x+1)+x^2(3) $
$ 4x(x+3)$	$4(x+3)+4x(1)$
$\sin x \cdot cos x$	$\cos x \cdot \cos x +\sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$
$(Ax+B)(Ax+B)$	$A(Ax+B)+(Ax+B)A=2A(Ax+B)$
$g(x)\cdot h(x)$	?

¿La has deducido? Compara tu resultado con la regla del producto enunciada a continuación.

La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la derivada de la segunda.

Matemáticamente,$$f(x)=g(x)h(x) \Rightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$$

Más ejemplos:

$$f (x) = 5x$$

Queremos derivar la expresión anterior, por lo que busco reconocer mis funciones $g (x)$ y $h (x)$ ue me permitan utilizar la regla del producto. En este caso $g (x) =5$ y $h (x) =x$. Por lo tanto,

$$f '(x) = 0 \cdot x + 5 \cdot 1=5$$

Un ejemplo del que ya conocemos el resultado: $$f(x) =x^2$$

Puedo decir que $g (x) =x$ y $h (x) =x$ y utilizar la regla del producto.

Entonces, $$f '(x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$ Evidentemente el resultado concuerda con lo que ya conocíamos.