Derivada d'una potència

A continuació mira la taula i intenta deduïr la norma general:

$f (x)$	$f'(x)$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^5$	$5x^4$
$x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2}x{-\frac{1}{2}}$
$2x^2$	$4x$
$2x^3$	$6x^2$
$5x^6$	$30x^5$
$x^n$	?
$Ax^n$	?

Solució:$$\begin{array}{ll}f (x) =x^n & f '(x) = nx^{n-1} \\ f (x) = A x^n & f '(x) = A nx^{n-1}\end{array}$$

Comprova ara que els resultats anteriors siguin els correctes, sabent identificar en cada cas la constant $A$ i el valor de $n$ en cada cas .

S'acaba de trobar la fórmula general per a derivar qualsevol potència. S'afegeix que aquesta fórmula només és aplicable quan $n$ és un nombre racional. Vegeu a continuació alguns exemples que convé tenir en ment. Tingues en compte també el següent:

• Una funció arrel quadrada o cúbica o qualsevol tipus d'arrel pot reescriure's sempre com una potència, és aplicable llavors la regla de derivació que s'ha presentat.

• Quan $n=0$ la derivada és nul·la, ja que qualsevol nombre elevat a $0$ és $1$, que és una constant, i per tant la derivada és nul·la.

Resumint, doncs, s'ha deduït la fórmula general per a derivar tres tipus de funcions fonamentals: funció constant, funció lineal i una potència qualsevol. Vegeu un últim recordatori del que hem vist fins ara:

$f(x)=A$	$f'(x)=0$
$f(x)=Ax+b$	$f'(x)=A$
$f(x)=Ax^n$	$f'(x)=A\cdot n\cdot x^{n-1}$

i utilitzeu-ho per als següents exemples:

a) $\begin{array}{ll}{f (x) = 30x + 5} & {f '(x) = 30}\end{array}$

b)$\begin{array}{ll} {f(x)=4(x + 1)} & {f '(x) = 4} \end {array}$

c) $\begin{array}{ll} {f (x) = 3 (5x+2)} & {f '(x) = 15} \end {array}$

d) $\begin{array}{ll} {f (x) = 6 (x^4+5)} & {f '(x) = 6 · 4x^3 = 24x^3} \end {array}$

e) $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ $f'(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

f) $f (x) =\sqrt[3]{\sqrt{x^2}}$ $f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$