Derivada de una potencia

A continuación mira la tabla que sigue e intenta deducir la norma general:

$f (x)$	$f'(x)$
$x^2$	$2x$
$x^3$	$3x^2$
$x^5$	$5x^4$
$x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2}x{-\frac{1}{2}}$
$2x^2$	$4x$
$2x^3$	$6x^2$
$5x^6$	$30x^5$
$x^n$	?
$Ax^n$	?

Solución:$$\begin{array}{ll}f (x) =x^n & f '(x) = nx^{n-1} \\ f (x) = A x^n & f '(x) = A nx^{n-1}\end{array}$$

Comprueba ahora que los resultados anteriores sean los correctos, sabiendo identificar en cada caso la constante $A$ y el valor de $n$ en cada caso.

Acaba de encontrarse la fórmula general para derivar cualquier potencia. Se añade que esta fórmula sólo es aplicable cuando $n$ es un número racional. Véanse a continuación algunos ejemplos que conviene tener en mente. Ten en cuenta también lo siguiente:

• Una función raíz cuadrada o cúbica o cualquier tipo de raíz puede reescribirse siempre como una potencia, siendo aplicable entonces la regla de derivación que se ha presentado.

• Cuando $n=0$ la derivada es nula, puesto que cualquier número elevado a $0$ es $1$, que es una constante, y por lo tanto la derivada es nula.

Resumiendo, pues, se ha deducido la fórmula general para derivar tres tipos de funciones fundamentales: función constante, función lineal y una potencia cualquiera. Véase un último recordatorio de lo visto hasta el momento:

$f(x)=A$	$f'(x)=0$
$f(x)=Ax+b$	$f'(x)=A$
$f(x)=Ax^n$	$f'(x)=A\cdot n\cdot x^{n-1}$

y utilícese para los siguientes ejemplos:

a) $\begin{array}{ll}{f (x) = 30x + 5} & {f '(x) = 30}\end{array}$

b)$\begin{array}{ll} {f(x)=4(x + 1)} & {f '(x) = 4} \end {array}$

c) $\begin{array}{ll} {f (x) = 3 (5x+2)} & {f '(x) = 15} \end {array}$

d) $\begin{array}{ll} {f (x) = 6 (x^4+5)} & {f '(x) = 6 · 4x^3 = 24x^3} \end {array}$

e) $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ $f'(x)=\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

f) $f (x) =\sqrt[3]{\sqrt{x^2}}$ $f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\dfrac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$