Creixement i decreixement d'una funció
Estudiar el creixement / decreixement en $x=0$ de les següents funcions.
a) $y=x^3$
b) $y= \left\{ \begin{array} {rcl} 0 & \mbox{ if } & x \leq 0 \\ -x & \mbox{ if } & x>0 \end{array}\right.$
a) Vegeu el gràfic
Mirant la gràfica veiem que és una funció creixent, tot i que en $x = 0$ s'observa un tram aparentment llis. Es tracta, doncs, d'una funció estrictament creixent en $x=0$?
Anem a calcular-ho analíticament. Per això calculem la derivada: $$y'=3x^2$$ Vegem quin és el signe de la derivada en els punts situats en un entorn proper a $x=0$.
Es veu que per a qualsevol valor de x (diferent de zero) la derivada és positiva. Per tant tots els punts de l'entorn de $x=0$ té derivada positiva. Això vol dir que la funció és estrictament creixent en $x=0$.
b) Vegeu la derivada en valors propers a $x=0$.
Per a valors negatius de $x$, la derivada $y'=0$.
Per a valors positius de $x$, la derivada $y'=-1$.
Per tant, $y'\leq0$ en un entorn proper a $x=0$, i per tant la funció és decreixent en $x=0$ (no és estrictament decreixent!)
a) Estrictament creixent
b) Decreixent