Crecimiento y decrecimiento de una función
Estudiar el crecimiento/decrecimiento en $x=0$ de las siguientes funciones.
a) $y=x^3$
b) $y= \left\{ \begin{array} {rcl} 0 & \mbox{ if } & x \leq 0 \\ -x & \mbox{ if } & x>0 \end{array}\right.$
a) Véase el gráfico
Al mirar la gráfica vemos que es una función creciente, si bien en $x=0$ se observa un tramo aparentemente liso. ¿Se trata, pues, de una función estrictamente creciente en $x=0$?
Vayamos a calcularlo analíticamente. Para ello calculemos la derivada: $$y'=3x^2$$ Veamos cual es el signo de la derivada en los puntos situados en un entorno próximo a $x=0$.
Se ve que para cualquier valor de $x$ (diferente de cero) la derivada es positiva. Por lo tanto todos los puntos del entorno de $x=0$ tiene derivada positiva. Esto significa que la función es estrictamente creciente en $x=0$.
b) Véase la derivada en valores próximos a $x=0$.
Para valores negativos de $x$, la derivada $y'=0$.
Para valores positivos de $x$, la derivada $y'=-1$.
Por lo tanto, $y'\leq0$ en un entorno próximo a $x=0$, y por lo tanto la función es decreciente en $x=0$ (no es estrictamente decreciente!)
a) Estrictamente creciente
b) Decreciente