Teorema de Bolzano

a) Definim la funció $f(x)=x^2-1$. Anem a buscar dos valors $a$ i $b$ tal que en avaluar per la funció $f (x)$ obtinguem valors de signes oposats:

Prenent

$$x=0 \Rightarrow f(0)=-1 < 0$$

$$x=2 \Rightarrow f(2)=5 > 0$$

de manera que en l'interval $[0,2]$ existeix un punt $c$ on $f (c) = 0$ i per tant resol la nostra equació. (en aquest cas $c=1$ i $f (1) = 0$).

b) Definim la funció $f(x)=e^x-\ln x-3$. Busquem dos valors $a$ i $b$ tal que en avaluar per la funció $f(x)$ obtinguem valors de signes oposats:

Prenent

$$x=1 \Rightarrow f(1)=e-0-3=-0.2817 < 0$$

$$x=2 \Rightarrow f(2)=3.69 > 0$$

Així que en l'interval $[1,2]$ hi haurà almenys un punt $c$ on $f (c) = 0$ i d'aquesta manera sabem amb certesa que hi ha algun valor solució de la nostra equació.

c) Definim la funció $f(x)=x^4+2x$ i repetim el procés:

Prenent

$$x=-1 \Rightarrow f(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)=1-2=-1 < 0$$

$$x=1 \Rightarrow f(1)=1+2=3 > 0$$

pel que en l'interval $[-1,1]$ hi ha un punt que és solució de la nostra equació.