Teorema de Bolzano

a) Definimos la función $f(x)=x^2-1$. Vamos a buscar dos valores $a$ y $b$ tal que al evaluarlos por la función $f(x)$ obtengamos valores de signos opuestos:

Tomando

$$x=0 \Rightarrow f(0)=-1 < 0$$

$$x=2 \Rightarrow f(2)=5 > 0$$

por lo que en el intervalo $[0,2]$ existe un punto $c$ donde $f (c) = 0$ y por lo tanto resuelve nuestra ecuación. (en este caso $c=1$ y $f (1) = 0$).

b) Definimos la función $f(x)=e^x-\ln x-3$. Busquemos dos valores $a$ y $b$ tal que al evaluarlos por la función $f(x)$ obtengamos valores de signos opuestos:

Tomando

$$x=1 \Rightarrow f(1)=e-0-3=-0.2817 < 0$$

$$x=2 \Rightarrow f(2)=3.69 > 0$$

Así que en el intervalo $[1,2]$ existirá al menos un punto $c$ donde $f (c) = 0$ y de esta manera sabemos con certeza que existe algún valor solución de nuestra ecuación.

c) Definimos la función $f(x)=x^4+2x$ y repetimos el proceso:

Tomando

$$x=-1 \Rightarrow f(-1)=(-1)^4+2\cdot(-1)=1-2=-1 < 0$$

$$x=1 \Rightarrow f(1)=1+2=3 > 0$$

por lo que en el intervalo $[-1,1]$ existe un punto que es solución de nuestra ecuación.