Intersecció d'una circumferència i una recta

Es planteja el sistema format per les dues equacions: $$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-2x-3=0 \\ 3x+y-5=0 \end{array}\right\} \Rightarrow x^2+(5-3x)^2-2x-3=0 \Rightarrow 5x^2-16x+11=0$$

Calculem el discriminant de l'equació de segon grau: $$x=\dfrac{16\pm\sqrt{16^2-4\cdot5\cdot11}}{2\cdot5}=\dfrac{16\pm\sqrt{36}}{10} \Rightarrow \Delta=36 > 0$$ La recta i la circumferència són secants, donat que el discriminant és major que zero.

Calculem els punts d'intersecció: $$x=\dfrac{16\pm\sqrt{36}}{10} \Rightarrow x=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{11}{5} \\ 1 \end{array}\right. \Rightarrow y=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{-8}{5} \\ 2 \end{array}\right.$$

Plantegem el sistema format per $$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-4x+2y-20=0 \\ 3x+4y-27=0 \end{array}\right.$$

Aïllem ara la $x$ de l'equació de la recta $$x=\dfrac{27-4y}{3}$$ i la substituïm en l'equació general de la circumferència que ens dóna l'enunciat. $$\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)^2+y^2-4\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)+2y-20=0$$ Aquesta és l'equació de la que hem de mirar el discriminant. Desenvolupant els quadrats tenim: $$\dfrac{27^2}{9}-2\cdot\dfrac{27}{3}\cdot\dfrac{4y}{3}+\dfrac{16y^2}{9}+y^2-\dfrac{4\cdot27}{3}+\dfrac{16y}{3}+2y-20=0$$ $$\Big(\dfrac{16}{9}+1\Big)y^2+\Big(\dfrac{16}{3}+\dfrac{6}{3}-\dfrac{72}{3}\Big)y-20+\dfrac{27^2}{9}-\dfrac{4\cdot27}{3}=0$$ $$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y-20+27\cdot3-\dfrac{108}{3}=0$$ $$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y+\dfrac{75}{3}=0$$ $$25y^2-150y+225=0$$

Resolent aquesta equació de segon grau tenim: $$y=\dfrac{150\pm\sqrt{150^2-4\cdot25\cdot225} }{2\cdot25}=\dfrac{150\pm\sqrt{0}}{50}=3$$ Per tant el discriminant és $$\Delta=\sqrt{22.500-22.500}=0$$ i resulta ser que la circumferència i aquesta recta són tangents en un punt. Substituint la $y$ trobada a l'equació de la recta obtenim: $$x=\dfrac{27-4\cdot3}{3}=\dfrac{27-12}{3}=\dfrac{15}{3}=5$$ de manera que el punt d'intersecció serà el $(5,3)$.