Intersección de una circunferencia y una recta
Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^2+y^2-2x-3=0$ y la recta $3x+y-5=0$.
Se plantea el sistema formado por las dos ecuaciones: $$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-2x-3=0 \\ 3x+y-5=0 \end{array}\right\} \Rightarrow x^2+(5-3x)^2-2x-3=0 \Rightarrow 5x^2-16x+11=0$$
Calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado: $$x=\dfrac{16\pm\sqrt{16^2-4\cdot5\cdot11}}{2\cdot5}=\dfrac{16\pm\sqrt{36}}{10} \Rightarrow \Delta=36 > 0$$ La recta y la circunferencia son secantes puesto que el discriminante es mayor que cero.
Calculemos los dos puntos de intersección. $$x=\dfrac{16\pm\sqrt{36}}{10} \Rightarrow x=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{11}{5} \\ 1 \end{array}\right. \Rightarrow y=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{-8}{5} \\ 2 \end{array}\right.$$
Son secantes en los puntos de la circunferencia $\Big(\dfrac{11}{5},-\dfrac{8}{5}\Big)$ y $(1,2)$.
Calcula la posición relativa de la circunferencia $x^2+y^2-4x+2y-20=0$ y la recta $3x+4y-27=0$.
Planteamos el sistema formado por $$\left\{\begin{array}{c} x^2+y^2-4x+2y-20=0 \\ 3x+4y-27=0 \end{array}\right.$$
Aislamos por ejemplo la $x$ de la ecuación de la recta: $$x=\dfrac{27-4y}{3}$$ y la sustituimos en la ecuación general de la circunferencia que nos da el enunciado $$\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)^2+y^2-4\Big(\dfrac{27-4y}{3}\Big)+2y-20=0$$ Esta es la ecuación de la que tenemos que mirar el discriminante. Desarrollando los cuadrados tenemos: $$\dfrac{27^2}{9}-2\cdot\dfrac{27}{3}\cdot\dfrac{4y}{3}+\dfrac{16y^2}{9}+y^2-\dfrac{4\cdot27}{3}+\dfrac{16y}{3}+2y-20=0$$ $$\Big(\dfrac{16}{9}+1\Big)y^2+\Big(\dfrac{16}{3}+\dfrac{6}{3}-\dfrac{72}{3}\Big)y-20+\dfrac{27^2}{9}-\dfrac{4\cdot27}{3}=0$$ $$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y-20+27\cdot3-\dfrac{108}{3}=0$$ $$\Big(\dfrac{25}{9}\Big)y^2+\Big(-\dfrac{50}{3}\Big)y+\dfrac{75}{3}=0$$ $$25y^2-150y+225=0$$
Resolviendo esta ecuación de segundo grado tenemos: $$y=\dfrac{150\pm\sqrt{150^2-4\cdot25\cdot225} }{2\cdot25}=\dfrac{150\pm\sqrt{0}}{50}=3$$ Por lo tanto el discriminante es $$\Delta=\sqrt{22.500-22.500}=0$$ y resulta ser que la circunferencia y dicha recta son tangentes en un punto. Sustituyendo la $y$ encontrada en la ecuación de la recta obtenemos: $$x=\dfrac{27-4\cdot3}{3}=\dfrac{27-12}{3}=\dfrac{15}{3}=5$$ por lo que el punto de intersección será el $(5,3)$.
Son tangentes en el punto $(5,3)$.