Equació de la paràbola vertical amb vèrtex genèric
Anem a tractar les paràboles verticals amb el vèrtex en un punt genèric $A(x_0,y_0)$.
El focus es troba en $F(x_0,y_0+\dfrac{p}{2})$ i la recta directriu té per equació $y=y_0-\dfrac{p}{2}$.
L'equació de la paràbola és $$(x-x_0)^2=2p(y-y_0)$$
Donada la paràbola $x^2-8y+16=0$, trobar el seu focus, el seu vèrtex i l'equació de la seva directriu.
Primer cal expressar l'equació de la paràbola en la forma $(x-x_0)^2=2p(y-y_0)$.
Per això podem sumar $8y-16$ a banda i banda, i treure $8$ com a factor comú: $$x^2=8(y-2)$$
Expressant-ho com $(x-0)^2=2\cdot4(y-2)$ ja s'obté tota la informació necessària.
Llavors s'identifica $x_0=0, y_0=2, p=4$.
El focus està en $F(x_0,y_0+\dfrac{p}{2})$, és a dir en $F(0,4)$.
El vèrtex es troba al $A(x_0,y_0)$ és a dir $A(0,2)$.
La recta directriu té com a equació $y=y_0-\dfrac{p}{2}$, que aplicada als valors de l'exercici és $y=0$.