Ecuación de la parábola vertical con vértice genérico
Vamos a tratar las parábolas verticales con vértice en un punto genérico $A(x_0,y_0)$.
El foco se encuentra en $F(x_0,y_0+\dfrac{p}{2})$ y la recta directriz tiene por ecuación $y=y_0-\dfrac{p}{2}$.
La ecuación de la parábola es $$(x-x_0)^2=2p(y-y_0)$$
Dada la parábola $x^2-8y+16=0$, hallar su foco, su vértice y la ecuación de su directriz.
Primero hay que expresar la ecuación de la parábola en la forma $(x-x_0)^2=2p(y-y_0)$.
Para ello sumar $8y-16$ a ambos lados, y sacar $8$ como factor común: $$x^2=8(y-2)$$
Expresándolo como $(x-0)^2=2\cdot4(y-2)$ ya se obtiene toda la información necesaria.
Entonces se identifica $x_0=0, y_0=2, p=4$.
El foco está en $F(x_0,y_0+\dfrac{p}{2})$, es decir en $F(0,4)$.
El vértice está en $A(x_0,y_0)$ es decir $A(0,2)$.
La recta directriz tiene por ecuación $y=y_0-\dfrac{p}{2}$, que aplicada a los valores del ejercicio resulta $y=0$.