Equació de l'el·lipse amb centre (x0, y0) i focus paral·lels a l'eix y

Aquest cas es diferencia únicament de l'Equació III de l'el·lipse en el fet que l'eix major és paral·lel a l'eix $OY$. L'equació només queda modificada en què $x$ i $y$ s'intercanvien els papers, per tant, tindran els coeficients del denominador canviats.

Vegem la demostració:

L'eix focal és ara paral·lel a l'eix de les ordenades, i per tant els focus estan en els punts $F'(x_0,y_0-c)$ i $F(x_0,y_0+c)$.

Aplicant ara la definició general obtenim $$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}+\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}=2a$$

Tal com es fa per a l'el·lipse horitzontal, se suma l'arrel, i elevem els dos costats de l'equació al quadrat: $$\displaystyle \Big(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2}\Big)^2=\Big(2a-\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$ $$(x-x_0)^2+(y-y_0+c)^2=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2$$ $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+2(y-y_0)c+c^2= 4a^2-4a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}+$$ $$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +(x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2(y-y_0)c+c^2$$

En simplificar i dividint per quatre en els dos costats obtenim: $$4(y-y_0)c=4a^2-4a\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$ $$(y-y_0)c=a^2-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}$$

En aïllar l'arrel i elevar novament al quadrat: $$(c(y-y_0)-a^2)^2= \Big(-a \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2}\Big)^2$$ $$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4= a^2((x-x_0)^2+(y-y_0-c)^2)$$ $$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2((x-x_0)^2+(y-y_0)^2-2c(y-y_0)+c^2)$$ $$c^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^4=a^2(x-x_0)^2+a^2(y-y_0)^2-2a^2c(y-y_0)+a^2c^2$$ $$c^2(y-y_0)^2-a^2(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2= a^2 c^2-a^4$$ $$(c^2-a^2)(y-y_0)^2-a^2(x-x_0)^2=a^2(c^2-a^2)$$

Dividim llavors entre $a^2(c^2-a^2)$ per obtenir un 1 a la dreta: $$\displaystyle \frac{(c^2-a^2)(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\frac{a^2(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}=1$$ $$\frac{(y-y_0)^2}{a^2}-\frac{(x-x_0)^2}{(c^2-a^2)}=1 $$

En aplicar la definició $a^2= b^2+c^2$, $-b^2=c^2-a^2$ es substitueix i s'arriba a l'equació desitjada per a l'el·lipse vertical: $$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}- \frac{(x-x_0)^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 $$.

Determinar l'equació d'una el·lipse amb centre en el punt $(1,-1)$ i amb un focus al punt $(1,2)$. A més se sap que passa pel punt $(1,4)$.

Primer hem de pensar en quin eix hi ha els focus de l'el·lipse. Com que el centre és $(1,-1)$ i un focus està en el $(1,2)$, ens n'adonem que la primera component es manté en l'1, és a dir la recta que uneix el centre per tal focus és la recta $x=1$.

Així doncs ja sabem que els focus estan sobre una recta paral·lela a l'eix d'ordenades $OY$. Si l'el·lipse passa pel punt $(1,4)$, la distància de tal punt (que també és de la recta $x=1$ i per tant de l'eix major) al centre és la diferència de les seves components $y$.

És a dir: $a=4-(-1)=5$.

De la mateixa manera es raona que el valor de $c$, que és la distància del focus al centre, és la diferència de les segones components, és a dir: $c=2-(-1)=3$.

Com que ja tenim els valors de $a$ i $c$, mitjançant la relació $a^2=b^2+c^2$, obtenim: $b=\sqrt{25-9}=4$.

Substituint en l'equació: $$\displaystyle \frac{(y-y_0)^2}{a^2}+\frac{(x-x_0)^2}{b^2}=1 \Longrightarrow \frac{(y+1)^2}{5^2}+\frac{(x-1)^2}{4^2}=1$$