Circumferència que passa per 3 punts donats

Anem a desenvolupar el mecanisme que s'ha de seguir per obtenir l'equació d'una circumferència si es coneixen tres punts per on passa.

L'equació general d'una circumferència $x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$ té 3 paràmetres a determinar que són $A$, $B$ i $C$.

Per tant, se sap que si es té un sistema de 3 equacions es podran determinar els 3 paràmetres.

Així doncs, els 3 punts donats que sabem que són de la circumferència els hem de substituir en l'equació general i d'això resultaran tres equacions amb incògnites $A$, $B$ i $C$.

Per exemple, suposem que la circumferència a descriure passa pels punts $(0,0)$, $(3,1)$ i $(5,7)$.

Substituïm per a cada $x$ i $y$ en l'equació general de la circumferència: $$(0,0) \Rightarrow 0^2+0^2+A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 \\ (3,1) \Rightarrow 3^2+1^2+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ (5,7) \Rightarrow 5^2+7^2+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C =0$$ Hem de resoldre el següent sistema d'equacions per trobar les incògnites $A$, $B$ i $C$: $$\left \{{\begin{array}{r} C=0 \\ 9+1+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ 25+49+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C=0 \end{array}}\right.$$

Primer substituïm la $C$ en les altres equacions ja que ja és coneguda, (és zero) i realitzem les operacions entre els termes independents. $$\left\{{\begin{array}{r}10+3A+B=0 \\ 74+5A+7B=0 \end{array} }\right.$$

Aïllem per exemple $B$ de la primera equació: $$B-10-3A$$ i la posem en la segona equació d'on podrem aïllar i obtenir $A$: $$\displaystyle \begin{array}{r}74+5A+7(-10-3A)=0 \\ 74+5A-70-21A=0 \\ 16A=4 \\ A= \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\end{array}$$

Llavors substituïm el valor d'$A$ obtingut en l'expressió $$B=-10-3A$$ i obtindrem que $$\displaystyle B=-\frac{43}{4}$$

Així doncs ja coneixem cada un dels paràmetres que ens determinen la circumferència, per tant podem escriure l'equació: $$\displaystyle x^2+y^2+\frac{1}{4}x-\frac{4}{43}=0$$