Circunferencia que pasa por 3 puntos dados

Vamos a desarrollar el mecanismo que se debe seguir para conseguir la ecuación de una circunferencia si se conocen tres puntos por donde pasa.

La ecuación general de una circunferencia $x^2+y^2+Ax+Bx+C=0$ tiene 3 parámetros a determinar que son $A$, $B$ y $C$.

Por lo tanto, se sabe que si se tiene un sistema de 3 ecuaciones se podrán determinar los 3 parámetros.

Así pues, los 3 puntos dados que sabemos que son de la circunferencia los debemos sustituir en la ecuación general y de eso resultarán tres ecuaciones con incógnitas $A$, $B$ y $C$.

Supongamos que la circunferencia a describir pasa por los puntos $(0,0)$, $(3,1)$ y $(5,7)$.

Sustituimos para cada uno $x$ e $y$ en la ecuación general de la circunferencia: $$(0,0) \Rightarrow 0^2+0^2+A \cdot 0 + B \cdot 0 + C = 0 \\ (3,1) \Rightarrow 3^2+1^2+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ (5,7) \Rightarrow 5^2+7^2+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C =0$$ Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones para incógnitas $A$, $B$ y $C$: $$\left \{{\begin{array}{r} C=0 \\ 9+1+A \cdot 3+B \cdot 1+C=0 \\ 25+49+A \cdot 5 + B \cdot 7 +C=0 \end{array}}\right.$$

Primero sustituimos la $C$ en las demás ecuaciones puesto que ya es conocida, (es cero) y realizamos las operaciones entre los términos independientes. $$\left\{{\begin{array}{r}10+3A+B=0 \\ 74+5A+7B=0 \end{array} }\right.$$

Aislamos por ejemplo $B$ de la primer ecuación: $$B-10-3A$$ y la ponemos en la segunda ecuación de donde podremos aislar y obtener $A$: $$\displaystyle \begin{array}{r}74+5A+7(-10-3A)=0 \\ 74+5A-70-21A=0 \\ 16A=4 \\ A= \frac{4}{16}=\frac{1}{4}\end{array}$$

Entonces sustituimos el valor de $A$ obtenido en la expresión $$B=-10-3A$$ y obtendremos que $$\displaystyle B=-\frac{43}{4}$$

Así pues ya conocemos cada uno de los parámetros que nos determinan la circunferencia, por lo tanto podemos escribir la ecuación: $$\displaystyle x^2+y^2+\frac{1}{4}x-\frac{4}{43}=0$$