Variacions amb repetició

Sigui $A$ un conjunt de $n$ elements. Les variacions amb repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ són els grups ordenats formats per $k$ elements de $A$ (que poden estar repetits) . Es representa per $VR_{n,k}$.

Per exemple,

Si es té el conjunt de $5$ elements $A=\{ a,b,c,d,e \}$:

• Les variacions amb repetició d'aquests $5$ elements presos de $1$ en $1$ són: $a$, $b$, $c$, $d$ i $e$.
• Les variacions amb repetició d'aquests $5$ elements presos de $2$ en $2$ són: $ab$, $aa$, $ac$, $dc$, $cc$, $ee$, $ae$, $ea$, $bc$, $of$, $bb$, $cd$, $be$, etc...
• Les variacions amb repetició d'aquests $5$ elements presos de $3$ en $3$ són: $abc$, $abb$, $acd$, $ccc$, $aba$, $dce$, $eed$, $cda$, etc...
• Les variacions amb repetició d'aquests $5$ elements presos de $4$ en $4$ són: $abbd$, $acdd$, $beac$, $eecc$, $dace$, etc...
• Les variacions amb repetició d'aquests $5$ elements presos de $5$ en 5 són: $abcde$, $abbbc$, $aeded$, $daece$, $bcced$, $edcba$, etc...

La següent fórmula ens dóna una forma molt més ràpida de comptar totes les variacions amb repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$. N'hi ha:$$VR_{n,k}=n^k$$

En l'exemple anterior,

El nombre de variacions amb repetició dels $5$ elements de $A$ presos de $3$ en $3$ és: $$VR_{5,3}=5^3=5 \cdot 5 \cdot 5 =125$$

Com es pot veure, és molt més pràctic utilitzar la fórmula que provar de trobar totes les possibilitats a mà!