Variaciones con repetición

Sea $A$ un conjunto de $n$ elementos. Las variaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ son los grupos ordenados formados por $k$ elementos de $A$ (que pueden estar repetidos) . Se representa por $VR_{n,k}$.

Por ejemplo,

Si se tiene el conjunto de $5$ elementos $A=\{ a,b,c,d,e \}$:

• Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $1$ en $1$ son: $a$, $b$, $c$, $d$ and $e$.
• Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $2$ en $2$ son: $ab$, $aa$, $ac$, $dc$, $cc$, $ee$, $ae$, $ea$, $bc$, $of$, $bb$, $cd$, $be$, etc...
• Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $3$ en $3$ son: $abc$, $abb$, $acd$, $ccc$, $aba$, $dce$, $eed$, $cda$, etc...
• Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $4$ en $4$ son: $abbd$, $acdd$, $beac$, $eecc$, $dace$, etc...
• Las variaciones con repetición de estos $5$ elementos tomados de $5$ en $5$ son: $abcde$, $abbbc$, $aeded$, $daece$, $bcced$, $edcba$, etc...

La siguiente fórmula nos da una forma mucho más rápida de contar cuantas variaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ hay :$$VR_{n,k}=n^k$$

En el ejemplo anterior,

Se tiene que el número de variaciones con repetición de los $5$ elementos de $A$ tomados de $3$ en $3$ es: $$VR_{5,3}=5^3=5 \cdot 5 \cdot 5 =125$$

Como se puede ver, ¡es mucho más práctico usar la fórmula que probar todas las posibilidades a mano!