Combinacions sense repetició

Les combinacions sense repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ són els diferents grups de $k$ elements que es poden formar a partir d'aquests $n$ elements, de manera que dos grups es diferencien només si tenen elements diferents (és a dir, no importa l'ordre ). Es representen per $C_{n,k}$.

Per exemple,

Considerem el conjunt $A=\{a,b,c,d,e\}$ de $5$ elements. Observem primer de tot que, per exemple, els grups $abc$ i $cba$ es consideren iguals, ja que com s'ha dit no importa l'ordre mentre els elements siguin els mateixos.

Anem a veure quines són les diferents combinacions sense repetició d'aquests $5$ elements:

• Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $1$ alhora: $a$, $b$, $c$, $d$ i $e$.
• Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $2$ alhora: $ab$, $ac$, $ad$, $ae$, $bc$, $bd$, $be$, $cd$, $ce$ i $de$.
• Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $3$ alhora: $abc$, $abd$, $abe$, $acd$, $ace$, $ade$, $bcd$, $bce$, $bde$ i $cde$.
• Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $4$ alhora: $abcd$, $abce$, $abde$, $acde$ and $bcde$.
• Combinacions sense repetició de $5$ elements prenent-ne $5$ alhora: L'únic grup de $5$ elements que es pot formar a partir dels elements de $A$ és $abcde$.

En aquest exemple s'han pogut escriure tots. No obstant això, si $A$ hagués tingut molts més elements, això seria molt més complicat.

La fórmula següent ens permet saber quantes combinacions sense repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ hi ha: $$\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

En l'exemple anterior tenim $n = 5$. Ara, si es vol saber quantes combinacions hi ha de $5$ elements presos de $3$ en $3$, usem la fórmula i obtenim: $$\displaystyle C_{5,3}=\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}=10$$ Es pot comprovar en la llista anterior que efectivament hi ha $10$ conjunts de $3$ elements.