Combinaciones sin repetición

Las combinaciones sin repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ son los diferentes grupos de $k$ eelementos que se pueden formar a partir de estos $n$ elementos, de modo que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos distintos (es decir, no importa el orden). Se representan por $C_{n,k}$.

Por ejemplo,

Consideremos el conjunto $A=\{a,b,c,d,e\}$ de $5$ elementos. Observemos primero de todo que, por ejemplo, los grupos $abc$ y $cba$ se consideran iguales, ya que como se ha dicho no importa el orden mientras los elementos sean los mismos.

Vamos a ver cuáles son las diferentes combinaciones sin repetición de estos $5$ elementos:

• Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $1$ de una sola vez: $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$.
• Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $2$ de una sola vez: $ab$, $ac$, $ad$, $ae$, $bc$, $bd$, $be$, $cd$, $ce$ y $de$.
• Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $3$ de una sola vez: $abc$, $abd$, $abe$, $acd$, $ace$, $ade$, $bcd$, $bce$, $bde$ y $cde$.
• Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $4$ de una sola vez: $abcd$, $abce$, $abde$, $acde$ y $bcde$.
• Combinaciones sin repetición de $5$ elementos tomando $5$ de una sola vez: El único grupo de $5$ elementos que se puede formar a partir de los elementos de $A$ es $abcde$.

En este ejemplo se han podido escribir todos. No obstante, si $A$ hubiera tenido muchos más elementos, ésto sería mucho más complicado.

La fórmula siguiente nos permite saber cuántas combinaciones sin repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ hay: $$\displaystyle C_{n,k}=\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

En el ejemplo anterior, se tiene que $n = 5$. Ahora, si se quiere saber cuántas combinaciones de $5$ elementos, tomando $3$ de una vez hay, se usa la fórmula y se obtiene: $$\displaystyle C_{5,3}=\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!}=10$$ Se puede comprobar en la lista anterior que efectivamente hay $10$ conjuntos de $3$ elementos.