Combinacions amb repetició

Les combinacions amb repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ són els diferents grups de $k$ elements que es poden formar a partir d'aquests $n$ elements, permetent que els elements es repeteixin, i considerant que dos grups es diferencien només si tenen elements diferents ( és a dir, no importa l'ordre). Es representen per $CR_{n,k}$ .

Considerem el conjunt $A=\{a,b,c,d,e \}$, les diferents combinacions amb repetició d'aquests $5$ elements són:

• Combinacions amb repetició de $5$ elements presos de $1$ en $1$: $a$, $b$, $c$, $d$ i $e$.
• Combinacions amb repetició de $5$ elements presos de $2$ en $2$: Com abans, es tenen $ad$, $ab$, $ac$, $ae$, $bc$, $bd$, $be$, $cd$, $ce$ i $de$, però ara també es tenen els grups amb elements repetits: $aa$, $bb$, $cc$, $dd$ i $ee$.
• Combinacions amb repetició de 5 elements presos de $3$ en $3$: Com abans, tenim $abe$, $abc$, $abd$, $acd$, $ace$, $ade$, $bcd$, $bce$, $bde$ and $cde$, però ara també es tenen els grups amb elements repetits: $aab$, $aac$, $aad$, $aae$, $bba$, $bbc$, $bbd$, $bbe$, $cca$, $ccb$, $ccd$, $cce$, $dda$, $ddb$, $ddc$ i $dde$.
• Combinacions amb repetició de $5$ elements presos de $4$ en $4$: Com abans, tenim $abcd$, $abce$, $abde$, $acde$ i $bcde$, però ara també es tenen els grups amb elements repetits: $aaab$, $aaac$, $aaad$, $aaae$, $aabc$, $aabd$, $aabe$, $aacd$, $aade$, $bbba$, $bbbc$, etc...
• Combinacions amb repetició de $5$ elements presos de $5$ en $5$: A part del que ja teníem abans (que era $abcde$) ara també es tenen els grups amb elements repetits: $aaaaa$, $aaaab$, $aaaac$, $aaaad$, $aaaae$, $aaabc$, $aaabd$, $aaabe$, $aaacd$, $aaace$, $aaade$, etc...

Com es pot veure en aquest exemple, ara hi ha molts més grups possibles que abans. La següent fórmula ens diu quantes combinacions amb repetició de $n$ elements presos de $k$ en $k$ hi ha:

$$\displaystyle CR_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$$

En l'exemple anterior,

Si es vol saber quantes combinacions amb repetició de $5$ elements presos de $3$ en $3$ hi ha, utilitzant la fórmula s'obté que són $35$:

$$\displaystyle CR_{5,3}=\binom{5+3-1}{3}=\frac{(5+3-1)!}{(5-1)!3!}=\frac{7!}{4!3!}=7 \cdot 5 = 35$$