Combinaciones con repetición

Las combinaciones con repetición de $n$ elementos tomados de $k$ en $k$ son los diferentes grupos de $k$ elementos que se pueden formar a partir de estos $n$ elementos, permitiendo que los elementos se repitan, y considerando que dos grupos se diferencian solamente si tienen elementos diferentes (es decir, no importa el orden). Se representan por $CR_{n,k}$ .

Consideramos el conjunto $A=\{a,b,c,d,e \}$, se tiene que las diferentes combinaciones con repetición de estos $5$ elementos son:

• Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $1$ en $1$: $a$, $b$, $c$, $d$ y $e$.
• Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $2$ en $2$: Como antes, se tienen $ad$, $ab$, $ac$, $ae$, $bc$, $bd$, $be$, $cd$, $ce$ y $de$, pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $aa$, $bb$, $cc$, $dd$ y $ee$.
• Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $3$ en $3$: como antes, tenemos $abe$, $abc$, $abd$, $acd$, $ace$, $ade$, $bcd$, $bce$, $bde$ y $cde$, pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $aab$, $aac$, $aad$, $aae$, $bba$, $bbc$, $bbd$, $bbe$, $cca$, $ccb$, $ccd$, $cce$, $dda$, $ddb$, $ddc$ y $dde$.
• Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $4$ en $4$: como antes, se tienen $abcd$, $abce$, $abde$, $acde$ y $bcde$, pero ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $aaab$, $aaac$, $aaad$, $aaae$, $aabc$, $aabd$, $aabe$, $aacd$, $aade$, $bbba$, $bbbc$, etc...
• Combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $5$ en $5$: A parte del que ya teníamos antes (que era $abcde$) ahora también se tienen los grupos con elementos repetidos: $aaaaa$, $aaaab$, $aaaac$, $aaaad$, $aaaae$, $aaabc$, $aaabd$, $aaabe$, $aaacd$, $aaace$, $aaade$, etc...

Como se puede ver en este ejemplo, ahora hay muchos más grupos posibles que antes. La siguiente fórmula nos dice cuántas combinaciones con repetición de $n$ tomados de $k$ en $k$ hay:

$$\displaystyle CR_{n,k}=\binom{n+k-1}{k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}$$

En el ejemplo anterior,

Se quiere saber cuantas combinaciones con repetición de $5$ elementos tomados de $3$ en $3$ hay, usando la fórmula se obtiene que son 35:

$$\displaystyle CR_{5,3}=\binom{5+3-1}{3}=\frac{(5+3-1)!}{(5-1)!3!}=\frac{7!}{4!3!}=7 \cdot 5 = 35$$