Invariants de les quàdriques i classificació euclidiana

La matriu associada a l'equació de la quàdrica és: $$\overline{A} = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 8 & 1 \\ 6 & 9 & 12 & 2 \\ 8 & 12 & 16 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$$ Calculem, ara, els seus invariants euclidians. $$det(x \cdot I-\overline{A})=x^4-30x^3+15x^2+6x$$ $$det(x \cdot I - A)=x^3-29x^2$$ Per tant, tenim que: $$\left \{ \begin{array}{l} D_4=0 \\ D_3=-6 \\ D_2=15 \\ D_1=30\end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{l} d_3=0 \\ d_2=0 \\ d_1=29 \end{array} \right.$$

L'índex de la quàdrica és $0$ gràcies al fet que no es compleix $d_1\cdot d_3 < 0$ ni $d_2 < 0$.